先选要比较的问题，再给有限样本误差

“近似服从Poisson”或“近似正态”还不是完整结论。需要同时交代随机模型、比较距离、样本规模和可算的误差预算。本终点先问任意计数事件的概率，再把目标换成平均超载；这两类问题允许使用的测试函数不同。

不同率的独立计数给精确基准，大小偏置与Chen–Stein方法给Poisson预算。后两项任务则使用正态方程、交换对与零偏置。

任务一：四种部件，先算出完整质量

四个部件独立故障，故障率分别为

p=(.02,.05,.08,.15).

记W为故障总数。它的生成多项式为

G_W(z)=(.98+.02z)(.95+.05z)(.92+.08z)(.85+.15z).

逐项卷积，或者执行原地逆序DP，得到按k=0,1,2,3,4排列的完整质量

P(W=k)=\frac1{500000}(364021,122481,12981,511,6).

五个分子和为500000；按k加权的均值为.3。因而比较目标取 $Z\sim\mathrm{Poisson}(.3)$ ，而不是另行拟合一个任意λ。

全事件保证和具体事件误差

独立大小偏置按 $p_i/.3$ 选择一项并强制该项为1，得到

d_{\mathrm{TV}}(W,Z)\le\sum_i p_i^2 =.0004+.0025+.0064+.0225=.0318.

例如“没有故障”的精确概率为.728042，Poisson给 $e^{-.3}\approx.74081822$ ，误差约.01277622。这个事件没有达到最坏差；完整TV约.02271653。

因为W最多为4，计算完整TV不必无穷求和：若 $q_k=e^{-.3}(.3)^k/k!$ ，则

d_{\mathrm{TV}}(W,Z) =\frac12\left(\sum_{k=0}^4|P(W=k)-q_k|+1-\sum_{k=0}^4q_k\right).\tag{1}

最后一项正是Poisson落在5及以上的全部概率，不能因为W在那里没有质量就删掉它。公开脚本以有理Taylor尾界包住指数，并用区间加减与绝对值验证式(1)的上端严格小于.0318。

若把四个率全部替换成平均率.075，就改变成另一个二项模型。均值仍为.3，原方差为 $.3-.0318=.2682$ ，新方差为 $4(.075)(.925)=.2775$ 。同均值没有保留异质性，不应把这个模型替代当作精确计算。

任务二：重叠的11不再是独立事件

现在输入变成20个独立Bernoulli(.1)位 $Y_1,\ldots,Y_{20}$ 。统计

W=\sum_{i=1}^{19}Y_iY_{i+1}.

这里共有19个“出现11”的指标。相邻指标共享一位，因此不能把它们当成19次独立Bernoulli(.01)。原始位数和计数指标数已经不同。

写出实际邻域

对 $I_i=Y_iY_{i+1}$ ，取 $B_i=\{i-1,i,i+1\}\cap\{1,\ldots,19\}$ 。邻域外全部指标使用的原始位与 $Y_i,Y_{i+1}$ 不交，故满足整向量独立条件。

19个邻域中，两端各大小2，其余17个各大小3，因此

\lambda=19(.1)^2=.19,\qquad b_1=(2\cdot2+17\cdot3)(.1)^4=.0055.

共有18对相邻指标，每对共同成功的概率为(.1)³；有向求和计两次，所以

b_2=2\cdot18(.1)^3=.036,\qquad d_{\mathrm{TV}}(W,\mathrm{Poisson}(.19))\le.0415.

若忽略共享位，仅算 $19(.01)^2=.0019$ ，使用的条件已经不成立。这不是一个更聪明的精度估计。

精确计算需要额外记忆

令 $a_j(k,b)$ 记录前j位中出现k次11且末位为b的概率。附加下一位z时，计数增加bz，因此

a_{j+1}(k+bz,z)\mathrel{+}=a_j(k,b)(.1)^z(.9)^{1-z}.

从 $a_0(0,0)=1$ 开始，处理20位后对末位求和，就得到完整20项质量。相比第一题，只保存计数已不够，还需知道是否刚留下一个1。

计算结果为

P(W=0)=.83882575688449447359,\qquad P(Z=0)=e^{-.19}\approx.82695913394336232.

零次事件差约.01186662，完整TV约.02085346，都在.0415之内。DP允许一次11与下一次11重叠，例如111贡献两次；若任务改成不重叠匹配或“至少有一段长串”，必须重新定义状态和计数。

异质独立计数与重叠11计数的精确质量、同均值Poisson质量及有符号差异，分别标出实际TV和合法预算 — 两个模型的Poisson误差预算

后两题把标准化负载与标准正态分布比较，误差使用一阶Wasserstein距离。先确认目标分布和距离的含义，再判断平均超载这类Lipschitz损失能得到什么保证；它与前两题的全事件概率误差不同。

任务三：无放回抽样中的正态预算

给定一个固定总体：100个值为+1，100个值为−1。均匀地无放回抽100个，令S为选中标签集合，K为其中的正值个数。定义

T=\sum_{i\in S}a_i=2K-100,\qquad \sigma^2=\frac{10000}{199},\qquad W=T/\sigma.

总体方差以分母200计算等于1；无放回总和方差是 $m(N-m)/(N-1)$ ，所以W均值为零、方差为一。若误用100个独立±1之和的方差100，标准化就错了。

一次内外交换形成可交换对

从S中均匀选一个标签I，从补集中均匀选J，并交换两者。每个具体交换与其反向都具有相同概率，故 $(W,W')$ 可交换。条件信息取整个原始集合 $\mathcal G=\sigma(S)$ 。

给定K=k，W增加 $2/\sigma$ 的概率为 $(100-k)^2/10000$ ，减少同样幅度的概率为 $k^2/10000$ 。其余情况不变。因此

E[\Delta\mid S]=-\frac1{50}W,\qquad\lambda=\frac1{50},

V(S)=E[\Delta^2\mid S] =\frac4{\sigma^2}\frac{k^2+(100-k)^2}{10000}.

联合交换性决定 $EV=2\lambda$ ，却没有使每个S的V都等于2λ。必须保留随机缺口

A=E\left|1-\frac{V(S)}{2\lambda}\right|.

精确的K质量为

P(K=k)=\frac{\binom{100}{k}\binom{100}{100-k}}{\binom{200}{100}} =\frac{\binom{100}{k}^2}{\binom{200}{100}},\qquad k=0,\ldots,100.

所以A是101项有理数之和，计算得 $A\approx.004867389500646295$ 。公开结果保留其精确分数。

第三跳跃项与输出承诺

非零跳跃的绝对值都为2/σ。因此

\frac{E|\Delta|^3}{2\lambda} =\frac2\sigma\frac{E\Delta^2}{2\lambda} =\frac2\sigma\approx.28213471959331769.

交换对定理给出

d_W(W,Z)\le\sqrt{2/\pi}\,A+\frac2\sigma \approx.28601833452729734.\tag{2}

这份预算同时控制所有1-Lipschitz目标的期望误差。它并不宣称每个目标都误差这么大。例如h(w)=max(w,0)的精确期望为

Eh(W)=\sum_{k=0}^{100}P(K=k)\frac{\max(2k-100,0)}\sigma \approx.39645421161476625.

正态目标为 $Eh(Z)=1/\sqrt{2\pi}\approx.39894228040143268$ ，实际误差约.00248807，显著小于式(2)。这揭示充分上界的保守性，而不是取消其统一保证。

本题的入选指标存在全局总数约束，独立重抽一个坐标会离开原样本空间。使用内外交换既保持样本规模，又给出正确的条件回归；它是第一、二题之外的另一种依赖结构。

任务四：独立负载的零偏置和超容量损失

改为400个独立公平Bernoulli负载，令

W=\frac{\sum_{i=1}^{400}(B_i-1/2)}{10}.

每项方差为1/4，总方差为100，所以分母为10。这次没有固定总体的无放回约束。

均匀选I，将 $B_I-1/2$ 替换成独立 $U_I\sim\mathrm{Uniform}[-1/2,1/2]$ ，其他项不变：

W^*=W+\frac{U_I-(B_I-1/2)}{10}.

按方差选索引在这里恰为均匀选择。原两端点到区间均匀点的平均距离都是1/2，故

E|W-W^*|=\frac1{20},\qquad d_W(W,Z)\le\frac1{10}.

对h(w)=max(w,0)，精确二项求和给 $Eh(W)\approx.39869301963792928$ ，与正态答案的差约.00024926。h无界，却是1-Lipschitz，因此0.1的证书适用。若把目标换成某个不连续事件指示函数，不能原封不动使用同一W1预算。

左侧非负人数分布按大小重新加权；右侧中心化Bernoulli两点质量经过零偏置成为连续均匀密度，质量轴与密度轴分别标明 — 两种不同的分布变换

图中的两类变换分别按均值与方差组织和的替换。零偏置的输入均值为零，但输出均值可以不为零；例如Bernoulli(1/4)中心化后的零偏置均匀分布在[−1/4,3/4]，均值为1/4。

复算与适用边界

下载公共检查脚本和本次结果。脚本需要Python 3与mpmath；在已具备这些依赖的环境运行：

python foundations-distribution-approximation-check.py --output my-results.json

有限分布、条件回归、密度归一化和多项式测试恒等式使用Fraction精确复算。Poisson的TV通过有理指数包围判断，保存的有理端点是严格包围；同时打印的小数只作近似读数。Gaussian Stein函数的605组核检查等使用100位算术，是有限诊断，不替代正文对全部Lipschitz函数的证明。

当前共25980项检查通过，包括不同率Bernoulli的完整枚举、119个依赖三位模型的大小偏置、三点零偏置密度、异质独立和替换、不同有限总体的无放回交换以及重叠模式DP。把各参数换成新值时，还需重新核对独立性、条件信息、方差非零、矩条件和所选目标函数。

尤其要保留距离的区别：这些离散W到连续正态的总变差均为1，即使其W1和某个平均超载误差很小。Poisson预算则直接面向所有计数事件。完成后可返回“有限样本分布近似的误差证书”路线，按自己真正要控制的输出选择工具。

先选要比较的问题，再给有限样本误差 ​

任务一：四种部件，先算出完整质量 ​

全事件保证和具体事件误差 ​

任务二：重叠的11不再是独立事件 ​

写出实际邻域 ​

精确计算需要额外记忆 ​

任务三：无放回抽样中的正态预算 ​

一次内外交换形成可交换对 ​

第三跳跃项与输出承诺 ​

任务四：独立负载的零偏置和超容量损失 ​

复算与适用边界 ​