返回因果积分与分数阶初值路线。这组任务要求同时交出模型、初值、函数类、有限计算和误差理由。前一题的“无需小范数”不会自动允许后一题忽略奇异核；阶数半群也不允许把过去清空后重启。

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任务一：一次迭代不是压缩，仍要给完整连续误差 ​

在[0,1]上求

$$u(t)=1+{\int }_0^t(1+t-s)u(s)ds.$$

交付从u₀=1开始的全部Picard多项式，选择一个能认证全窗误差不超过10⁻⁵的迭代次数，并给出连续残差。

不先把范数条件误当成可解条件 ​

三角核k=1+t−s在0≤s≤t≤1上介于1和2，所以M=2。更准确地，K是正算子，$\Vert K\Vert =\underset{t}{max}{\int }_0^t(1+t-s)ds=3/2$，确实不是严格压缩。Volterra阶乘证明理路Volterra第二类方程与预解核Volterra equation of the second kind · Volterra resolvent kernel · 因果第二类积分方程在有限时间三角域上构造迭代核与预解核，以阶乘衰减证明任意参数的唯一可解，并交付Picard尾界和连续残差证书。仍给唯一连续解。

首四份多项式为

$$\begin{array}{rl}{u}_0& =1,\\ u_1& =1+t+t^2/2,\\ u_2& =1+t+t^2+t^3/3+t^4/24,\\ u_3& =1+t+t^2+t^3/2+t^4/6+t^5/40+t^6/720.\end{array}$$

附件继续输出至u₁₂的每个有理系数。验证器每次重新执行 $u_{n+1}=1+K{u}_n$，并检查最后的 $r_N=u_N-1-K{u}_N$；提交者只写“PASS”或一个很小的上界不会被接受。

对于B=1、x=2，使用已证明的几何尾预算

$$B_N=\frac{2^{N+1}}{(N+1)!}\frac{1}{1-2/(N+2)}.$$

必须先满足N+2>2。N=11时 $B_{11}=52/5145525>{10}^{-5}$，N=12时 $B_{12}=4/2606175<{10}^{-5}$。所以12是这份预算的首个合格迭代指标，不是声称真实误差第一次在这一轮达标。u₁₂(1)为

$$\frac{2356615492169176971858361}{620448401733239439360000}.$$

残差的另一份独立表示是 $r_{12}=-K^{13}1$。完整系数在JSON中；其全窗界来自有序积分体积，不来自在17个点抽查。

给一个与Picard不同的交叉核对 ​

对原积分式求导，有u′=u+∫₀ᵗu，再求导得u″=u′+u，u(0)=u′(0)=1。因此第n阶零点导数是Fₙ₊₁，其中F₁=F₂=1，Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ。另一份解表示为

$$u(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{F_{n+1}{t}^n}{n!}.$$

它的连续收敛和逐次求导由Fₙ₊₁≤2ⁿ及指数级数控制；所构造解满足ODE，且 $u^{\prime }-u$ 的导数为u、零点为0，积分回去确实满足原方程。Fibonacci后继比至多2，故截到N阶后可用首遗漏项除以 $1-2t/(N+2)$ 包围尾部。附件用这条独立Taylor证书核u₁₂(1)的实际误差，而不是再调用一次Picard迭代冒充交叉检查。

迁移与拒绝 ​

把核分别改成常数c、2cs和c(t−s)，从1开始的第n次纯作用分别为 $c^n{t}^n/n!$、$c^n{t}^{2n}/n!$、$c^n{t}^{2n}/(2n)!$。这三套闭式在多个c和n下核验通用积分器。另有18份改变核、强迫、反馈符号和时间窗的多项式模型。

程序对一般多项式核采用系数绝对值上界；若核是仿射函数，则取三角域三个顶点绝对值的最大值，由凸组合保证覆盖整个三角域。不能把一般高次核只在三个顶点采样也称作认证。损坏迭代系数、残差、M或尾界，均应被拒绝。

任务二：半积分复合、初始常数与真实正则性 ​

先用分数阶积分理路Riemann–Liouville分数阶积分Riemann–Liouville fractional integral · Riemann-Liouville fractional integral · 左侧分数阶积分在固定记忆起点上定义归一化幂核积分，证明L1与连续输入的接口、阶数半群、幂函数迁移及端点迹，区分阶数复合与时间重启。求I¹/²(1+t)，再作一次半积分。随后在归一化幂基 ${\varphi }_p=t^p/\mathrm{\Gamma }(p+1)$ 中核

$$u=2+{\varphi }_{1/2}-2{\varphi }_1+3{\varphi }_{3/2},{}^{\mathrm{C}}{D}_0^{1/2}u=-2u+5-{\varphi }_1+6{\varphi }_{3/2}.$$

完整答案与初值验收 ​

第一项为 $2\sqrt{t}/\sqrt{\pi }+4t^{3/2}/(3\sqrt{\pi })$，再积分得到t+t²/2。两次各自的1/√π必须保留。

对制造解，常数2的Caputo导数理路Caputo导数与分数阶初值Caputo fractional derivative · Caputo initial value problem · Caputo分数阶初值问题在绝对连续类中定义带起点的Caputo导数，证明初值与积分式的等价条件，追踪零点奇性、非半群行为和重启时不可丢弃的记忆项。为0，其余指数各减1/2，所以导数为 $1-2{\varphi }_{1/2}+3{\varphi }_1$。把2u移到左侧，恰得到 $5-{\varphi }_1+6{\varphi }_{3/2}$。u(0)=2；例如u(1)=6/√π，约3.38513750。数值只是辅助，真正的等式通过不同指数的精确系数比较来核。

u′在零附近有t⁻¹/²项，但它可积，故u属于AC。强迫也属于AC，满足所用定理的正则性。若要求u在整个闭区间有连续普通导数，反而会错误拒绝它。

应另外交出

$$I^{1/2}{}^{\mathrm{C}}{D}_0^{1/2}u=u-2,$$

而不是u。把初值改成0却不改变函数，或把t项系数增加1/100却不重新计算强迫，都被检查器拒绝。含负幂的候选也不属于本例使用的AC有限幂和接口。

不能把积分半群搬到导数 ​

取a=b=1/3、v=φ₁/₃。先作b阶Caputo导数得1，再作a阶导数得0；一次作2/3阶却得到φ₋₁/₃。这两份输出在正时间确实不同，所有输入都满足各次定义的条件。

附件还改变α为1/3、1/2、2/3，λ为−2、0、3/4，初值为−1、0、3/2。每次以 $u=c+{\varphi }_{\alpha }-2{\varphi }_{2\alpha }+3{\varphi }_{3\alpha }$ 重新生成强迫，并同时核微分式和积分式；换阶数后不能保留上一模型的强迫系数与指数。

任务三：受迫松弛的数值区间与长时间行为 ​

求

$${}^{\mathrm{C}}{D}_0^{1/2}w=-2w+3,w(0)=2.$$

要求认证w(1)到小数点后七位，解释它的最终极限，并在不计算两个巨大数之差的情况下控制长尾。

平衡与瞬态分别求 ​

由Mittag–Leffler线性响应理路Mittag–Leffler响应与分数阶松弛Mittag–Leffler function · Mittag-Leffler relaxation · 分数阶松弛响应以Gamma分母级数求线性分数阶初值响应，证明绝对连续与弱奇异比较界，并为半阶松弛给正积分、代数长尾和有限截断证书。，

$$w(t)=3/2+\frac{1}{2}{E}_{1/2}(-2\sqrt{t}).$$

令F(x)=E₁/₂(−x)，它有正积分

$$F(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2-2xr}dr.$$

所以w从2严格下降到3/2。衰减的是偏离平衡的w−3/2，不能把常数强迫下的解写成趋零。

为计算x=2，将级数按偶、奇项分开，各保留j=0,…,120。后继比上界来自x²/(m+2)和x²/(m+5/2)，而不是假设整条交错级数从第一项起递减。首遗漏项除以一减比值，得到两份非负尾；偶尾加在上端，奇尾减在下端。

程序在80位十进制定点格上逐步向外取整。π由Machin公式的两个交错arctan级数包围，√π由整数平方比较包围。有限子和、除法和尾都向外扩展；更多项可能累积更多舍入宽度，不能盲称每次增加项数都会得到嵌套区间。

最终严格有

$$1.6276978381552528719<w(1)<1.6276978381552528720.$$

因此七位小数舍入为1.6276978。附件保留更完整的上下端，而不用一串点估计小数代替认证。

长尾换用另一份正表示 ​

由正积分换元，x>0时

$$\frac{1-1/(2x^2)}{\sqrt{\pi }x}\le F(x)\le \frac{1}{\sqrt{\pi }x}.$$

取t=100时x=20，于是

$$\frac{799}{800}\frac{1}{20\sqrt{\pi }}\le F(20)\le \frac{1}{20\sqrt{\pi }}.$$

两界约为0.02817421733和0.02820947918。将它们分别乘1/2再加3/2，即得w(100)的完整两侧界。这里没有用会发生严重抵消的e⁴⁰⁰规模奇偶和。极限 $\sqrt{t}\{w(t)-3/2\}\to 1/(4\sqrt{\pi })$ 也由同一夹界得到。

任务四：重启、缺陷与误差预算各核一次 ​

原方程的过去不能清空 ​

对u(t)=t、α=1/2，从a=1重启。t=4时，原Caputo导数为4/√π，新起点导数为2√3/√π，遗漏记忆为

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{\pi }}\approx 0.30234828658.$$

三项须满足“原导数＝新导数＋旧记忆”。只给u(1)=1不足以保持原方程的全部历史。

另对无强迫松弛 $S(t)=E_{1/2}(-\sqrt{t})$，完整走到4得到S(4)约0.2553956763；若每隔一单位清空历史并按相同方程重启，所得S(1)⁴约0.0334259732。两区间严格不交，展示时间半群的失败。两者是不同实验，不能把较小的后者当成同一模型的更好数值近似。

一个小残差怎样换成全窗证书 ​

取任意已认证的AC精确解u，其方程反馈系数λ=−1/2，强迫随该模型固定。把候选改为 $v=u+{\varphi }_1/100=u+t/100$，两者初值相同。连续残差为

$$r(t)=\frac{1}{100}({\varphi }_{1/2}(t)+\frac{1}{2}{\varphi }_1(t)).$$

在[0,1]上每项非负非减，故

$$\eta =\Vert r{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{100}(\frac{2}{\sqrt{\pi }}+\frac{1}{2}).$$

正系数比较取L=|λ|=1/2，得整段误差不超过

$$\frac{\eta }{L}\{E_{1/2}(L)-1\}<0.03101607961<0.04.$$

真实全窗误差是1/100。这说明预算安全且足够达到0.04目标，但舍弃负反馈后的界较保守。认证η用的是解析单调性与完整残差，不是几个网格点。

最终交付与程序边界 ​

交付应包含：Picard完整多项式和尾预算；制造解的初值、AC说明和逐幂等式；受迫响应的数值区间与长尾；两种重启的缺失项；全窗残差到误差的比较链。任何一步改变起点、阶数、反馈或强迫，都要重新核其输入合同。

公开程序有1812项显式检查，普通与-O输出相同。它验证精确有理系数、闭式迁移、损坏证书的拒绝及向外区间。源码中对有限点的残差采样只作实现诊断；全区间界、AC正则性和一般级数收敛另由正文证明。核的次数增长、精确整数位长、特殊函数精度、日志存储都另计，未把任意连续黑箱积分方程宣称为有限符号算法。