Mittag–Leffler响应与分数阶松弛

普通线性方程反复积分，产生tⁿ/n!并求和成指数。把每次积分改成α阶，分母就变成Γ(1+αn)。Mittag–Leffler函数记录的正是这份反馈级数。它能像指数一样解线性问题，却通常没有“只记当前值就能重新开始”的时间半群。

形式陈述

先定义真正收敛的函数

对实数α>0、β>0和复数z，定义

E_{\alpha,\beta}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{\Gamma(\alpha n+\beta)}, \qquad E_\alpha=E_{\alpha,1}. \tag{1}

Γ采用Gamma函数的正实值；该幂级数在整个复平面收敛。特别地 $E_1(z)=e^z$ 、 $E_\alpha(0)=1$ 。这是一个特殊函数，不是已有的Mittag–Leffler指定主部定理的别名。

有限窗线性初值问题

设0<α<1、T>0、λ∈ℂ、u₀∈ℂ，且f∈AC[0,T]。则

{}^\mathrm C D_0^\alpha u=\lambda u+f, \qquad u(0)=u_0 \tag{2}

有唯一AC解，微分等式按几乎处处理解。具体为

\begin{aligned} u(t)&=u_0E_\alpha(\lambda t^\alpha) +\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}(\lambda(t-s)^\alpha)f(s)ds\\ &=u_0\sum_{n=0}^\infty\lambda^n\phi_{\alpha n}(t) +\sum_{n=0}^\infty\lambda^nI^{\alpha(n+1)}f(t), \end{aligned} \tag{3}

其中 $\phi_p=t^p/\Gamma(p+1)$ ，Iα是从零开始的分数阶积分。卷积核在t=s附近可能无界，但可积；不能为了方便画图把它的端点改成有限常数。

f连续时，第二行仍构造唯一连续的积分方程解；本页的AC结论使用了更强的f∈AC条件。一般连续f不在此自动获得经典Caputo正则性。

正系数比较界与误差预算

若连续w≥0满足 $w\le A+LI^\alpha w$ ，A,L≥0，则

w(t)\le A E_\alpha(Lt^\alpha). \tag{4}

若还包含持续输入 $\eta\phi_\alpha(t)$ ，η≥0，则

w(t)\le A E_\alpha(Lt^\alpha) +\eta t^\alpha E_{\alpha,\alpha+1}(Lt^\alpha). \tag{5}

L>0时第二项可写成 $\eta\{E_\alpha(Lt^\alpha)-1\}/L$ ；L=0时取ηφα，不能除以零。

直觉

Gamma增长为什么足够，不必先借用渐近公式

令x=αn+β−1，取n足够大使x≥1。Euler积分在[x,x+1]上的一小块已经给

\Gamma(x+1)\ge\int_x^{x+1}r^xe^{-r}dr \ge x^xe^{-(x+1)}.

因此 $\Gamma(\alpha n+\beta)^{1/n}$ 至少按正数乘n^α增长，式(1)的第n项绝对值的n次根趋零。对有界z圆盘可用同一界，故级数正常收敛并定义整函数。这里没有把“Gamma很大”当成省略收敛证明的口号。

每轮反馈增加α，不是增加一

Caputo初值恒等式把式(2)化成

u=u_0+I^\alpha f+\lambda I^\alpha u.

反复代入，阶数半群使第n轮初始贡献为u₀λⁿφαn，强迫贡献为λⁿI^{α(n+1)}f。范数界

\|I^{\alpha n}g\|_\infty \le\frac{T^{\alpha n}}{\Gamma(1+\alpha n)}\|g\|_\infty

以及刚证的级数收敛允许逐项积分，得到式(3)的连续解。若两个连续积分解之差为d，反复代入后

|d(t)|\le\|d\|_\infty\frac{|\lambda|^nT^{\alpha n}}{\Gamma(1+\alpha n)}\longrightarrow0.

因此唯一性并不依赖 $|\lambda|T^\alpha/\Gamma(1+\alpha)<1$ 。

不能跳过绝对连续性

对n≥1，φαn的导数虽然可能在零点无界，但其L1范数恰为φαn(T)。因此初始响应级数的导数在L1中绝对可求和。

对强迫项，f∈AC给

(I^\rho f)'=f(0)\frac{t^{\rho-1}}{\Gamma(\rho)}+I^\rho f',\qquad \rho>0,

且其L1范数至多 $\{|f(0)|+\|f'\|_1\}T^\rho/\Gamma(1+\rho)$ 。取ρ=α(n+1)，所有带|λ|ⁿ的上界仍可求和。于是式(3)可以写成“初始值加一个L1函数的普通积分”，真正属于AC。再由Caputo与积分式的等价定理，得到式(2)，没有先假设所求解可微。

同理，卷积核的级数在L1中绝对收敛，其第n项的积分范数为 $|\lambda|^nT^{\alpha(n+1)}/\Gamma(1+\alpha(n+1))$ 。这才允许把求和与强迫积分交换；核本身在包含零点的闭区间上未必一致收敛为有界函数。

式(4)的证明也是反复代入非负核。迭代n次，有限和为 $A\sum_{j=0}^{n-1}L^j\phi_{\alpha j}$ ，剩余项不超过 $\|w\|_\infty L^n\phi_{\alpha n}(T)\to0$ 。式(5)多出η项的同样展开。所有比较都利用L≥0；它没有把负的阻尼系数直接当成正积分不等式的权重。

例子与边界

半阶响应有一份独立的正积分表示

令 $F(x)=E_{1/2}(-x)$ ，x≥0。幂级数的Gamma递推给H(z)=E₁/₂(z)满足

H'(z)=2zH(z)+2/\sqrt\pi,\qquad H(0)=1.

乘积分因子e^{-z²}，在实轴积分，得到

F(x)=\frac2{\sqrt\pi}e^{x^2}\int_x^\infty e^{-s^2}ds =\frac2{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-r^2-2xr}dr. \tag{6}

最后一步令s=x+r。这份正积分可独立检查负参数级数的符号：0<F(x)≤1，且x增加时严格下降。没有用“大正数相减得到小正数”的浮点结果来证明正性。

对于x>0，再令v=2xr，

F(x)=\frac1{\sqrt\pi x}\int_0^\infty e^{-v-v^2/(4x^2)}dv.

由 $1-y\le e^{-y}\le1$ （y≥0）得到

\frac1{\sqrt\pi x}\left(1-\frac1{2x^2}\right) \le F(x)\le\frac1{\sqrt\pi x}. \tag{7}

下界为负时可改为零。控制收敛定理以e^{-v}支配，再给 $xF(x)\to1/\sqrt\pi$ 。因此 $E_{1/2}(-a\sqrt t)$ （a>0）按 $1/(a\sqrt{\pi t})$ 衰减，而非普通指数；式(7)还给了有限时间的误差方向。

常数强迫先找平衡，再算初始偏差

求 $ {}^\mathrm C D_0^{1/2}u=-2u+3$、u(0)=2。常数3/2的Caputo导数为零，故

u(t)=\frac32+\frac12E_{1/2}(-2\sqrt t). \tag{8}

它从2下降到3/2，初始普通导数具有t^{-1/2}级奇性。式(7)在t>0给u−3/2的两侧预算；不能误把整个u都判为趋零。t=1时u约为1.62769784，终点附件用有理区间而非这个舍入小数验收。

不满足时间半群，不能只存一个状态

记 $S(t)=E_\alpha(-at^\alpha)$ ，a>0。小h时

S(2h)=1-\frac{a2^\alpha h^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}+O(h^{2\alpha}),\qquad S(h)^2=1-\frac{2ah^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}+O(h^{2\alpha}).

0<α<1时2^α≠2，所以二者对充分小的h不同。指数在α=1时恢复普通半群；分数阶积分的“阶数半群”并未消失，但它不是这里的“演化时间半群”。这是重启时需要历史项的另一份见证。

推论与应用

半阶级数可以交出有限、可验的尾预算

对x≥0，把F(x)分为偶数与奇数项：

F(x)=\sum_{j=0}^\infty A_j-\sum_{j=0}^\infty B_j, \quad A_j=\frac{x^{2j}}{j!},\quad B_j=\frac{x^{2j+1}}{\Gamma(j+3/2)}.

每一子列非负，且

\frac{A_{j+1}}{A_j}=\frac{x^2}{j+1},\qquad \frac{B_{j+1}}{B_j}=\frac{x^2}{j+3/2}.

在x=0时直接取F=1，不用0/0。各保留j=0,…,m，若x²<m+2，则两份遗漏和分别不超过

U_A=\frac{A_{m+1}}{1-x^2/(m+2)},\qquad U_B=\frac{B_{m+1}}{1-x^2/(m+5/2)}. \tag{9}

于是有限和P_m满足 $P_m-U_B\le F(x)\le P_m+U_A$ 。这个不对称区间比把两尾绝对值全加到两端更紧。若要在0≤x≤X上统一控制，可将尾预算中的x替换为X。

半整数Gamma递推使B_j等于一个有理系数乘 $x^{2j+1}/\sqrt\pi$ 。若x为有理数，所有有限和及尾预算都可由π和√π的有理包围完成。正参数E₁/₂(x)把减号改成加号，同样的两个非负尾给上下界。截断阶必须先满足比值条件，计算代价还包含有理数位长和所需π精度。

大的x下，两份有限和都约为e^{x²}，却相减得到约1/(√πx)的小量，普通精度会严重抵消。此时可增加精度或使用式(6)的正积分及式(7)长尾界；“级数对所有x收敛”不等于“任何x下都数值稳定”。

把缺陷转为轨道误差

若v∈AC是候选，初值误差至多A，并已在几乎处处认证

|{}^\mathrm C D_0^\alpha v-\lambda v-f|\le\eta,

用式(5)、L=|λ|得到

|v(t)-u(t)|\le A E_\alpha(Lt^\alpha) +\eta t^\alpha E_{\alpha,\alpha+1}(Lt^\alpha). \tag{10}

初始误差和持续缺陷各占一项；只核差分斜率不是在核Caputo残差。λ<0时此界仍安全，却舍弃阻尼，可能很保守，不能称为最佳长时间稳定性结论。

因果积分与分数阶初值终点交付制造解的精确系数、受迫松弛的有理区间、正积分长尾和损坏输入拒绝。有限采样只辅助诊断，一般收敛与全时间比较由前面的解析证明承担。

参考资料

Francesco Mainardi，A Tutorial on the Basic Special Functions of Fractional Calculus，2020，§3.2式(3.3)–(3.5)、§4式(4.1)–(4.7)、§5式(5.1)–(5.4)。本文限制实正α、β，并直接证明Gamma下界、AC导数可和及半阶有理尾预算；没有照用核在零点也一致有界的表述。
Lei Li、Jian-Guo Liu，A Generalized Definition of Caputo Derivatives and Its Application to Fractional ODEs，arXiv:1612.05103v5，2018，Proposition4.3，印页23–24：线性常系数响应。本页在有限窗对AC强迫给出自足的级数构造，不需要额外的无穷时间Laplace增长假设。

形式陈述 ​

先定义真正收敛的函数 ​

有限窗线性初值问题 ​

正系数比较界与误差预算 ​

Gamma增长为什么足够，不必先借用渐近公式 ​

每轮反馈增加α，不是增加一 ​

不能跳过绝对连续性 ​

半阶响应有一份独立的正积分表示 ​

常数强迫先找平衡，再算初始偏差 ​

不满足时间半群，不能只存一个状态 ​

半阶级数可以交出有限、可验的尾预算 ​

把缺陷转为轨道误差 ​

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