Caputo导数与分数阶初值

普通导数只看当前附近的变化，Caputo导数则把从起点至今的变化率按幂核加权。先求普通导数使常数被消去，这正是它能配合u(0)=u₀这类通常初值的原因。但“消去常数”也意味着它不是可随意交换次序的分数次幂。

形式陈述

定义包含函数类、阶数和记忆起点

固定T>0、0<α<1。若 $u\in AC([0,T])$ ，即u是绝对连续函数，定义从零开始的Caputo导数

{}^{\mathrm C}D_0^\alpha u(t) =(I^{1-\alpha}u')(t) =\frac1{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^t(t-s)^{-\alpha}u'(s)ds \tag{1}

对几乎处处的t成立。这里 $I^{1-\alpha}$ 使用分数阶积分的有限窗L1接口。因为u′∈L1，导数仍在L1中，并有

\|{}^{\mathrm C}D_0^\alpha u\|_1 \le\frac{T^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\|u'\|_1.

式(1)没有给任意AC输入承诺每一点的有限值，更没有要求它在t=0取零。

它满足两条关键恒等式：

{}^{\mathrm C}D_0^\alpha c=0, \qquad I^\alpha{}^{\mathrm C}D_0^\alpha u=u-u(0). \tag{2}

第二式作为L1等式成立，右侧提供其连续代表。连续代表在整个[0,T]上的值由右侧确定；不把一个几乎处处定义的积分输出任意指定的单点值当作新信息。

初值问题与积分问题何时等价

给u₀、函数F以及一个已知属于AC的候选u，假设 $g(t)=F(t,u(t))\in L^1(0,T)$ 。那么

u(0)=u_0,\quad {}^{\mathrm C}D_0^\alpha u=g\ \text{几乎处处} \quad\Longleftrightarrow\quad u(0)=u_0,\quad u-u_0=I^\alpha g\ \text{几乎处处}. \tag{3}

如果g连续，右边的积分连续，等式就可以逐点写成

u(t)=u_0+\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}F(s,u(s))ds. \tag{4}

这里“u属于AC”不能在右向左的论证中消失。若先仅在连续函数空间求得式(4)的解，还需证明它绝对连续，或者明确采用另一个较弱的Caputo定义。本页不把这两个接口混为一谈。

一个容易检查的充分逆算条件是g∈AC：此时 $u=u_0+I^\alpha g$ 确实属于AC，具有u(0)=u₀，且Caputo导数为g。它是充分条件，并非必要条件。

直觉

为何积分回来会留下初值

分数阶积分的阶数半群给

I^\alpha{}^{\mathrm C}D_0^\alpha u =I^\alpha I^{1-\alpha}u'=I^1u'=u-u(0).

最后一步是绝对连续函数的积分恢复，不是对任意连续函数都成立的公式。于是式(3)的正向立即得到。

反向则不要直接在弱奇异积分号下求导。对AC候选u，先用已证恒等式，再与右侧比较：

I^\alpha\bigl({}^{\mathrm C}D_0^\alpha u-g\bigr)=0.

括号中的函数属于L1；Iα在L1上单射，因此括号几乎处处为零。这完成逆向，同时保留了全部正则性条件。

充分条件g属于AC如何真正给出AC解

写 $g(s)=g(0)+\int_0^s g'(r)dr$ 。Fubini换序有绝对可积依据，因为g′∈L1且幂核在有限窗中可积。于是

I^\alpha g(t) =\frac{g(0)t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}+I^{\alpha+1}g'(t) =\frac{g(0)t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}+I^1I^\alpha g'(t).

第一项是可积导数的原函数，第二项也是L1函数的普通原函数，所以整体属于AC。其导数为

(I^\alpha g)'(t) =\frac{g(0)t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}+I^\alpha g'(t) \quad\text{几乎处处}. \tag{5}

再作I^{1−α}，第一项由Beta积分变成g(0)，第二项变成I¹g′=g−g(0)，恰好返回g。这个证明还解释了为什么初值问题常出现 $t^{\alpha-1}$ 的导数奇性。

与Riemann–Liouville导数差的正是一份迹

在u∈AC的同一范围中，定义 $D_{\mathrm{RL},0}^\alpha u=(I^{1-\alpha}u)'$ 。由u=u(0)+I¹u′以及刚才的换序，

D_{\mathrm{RL},0}^\alpha u ={}^\mathrm C D_0^\alpha u +\frac{u(0)t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}. \tag{6}

所以对常数c，RL导数是 $ct^{-\alpha}/\Gamma(1-\alpha)$ ，Caputo导数为零。这两种定义都能使用，但初始条件和反积分公式必须配套；只换导数名称而保留原方程会改变问题。

例子与边界

初始斜率无界，仍是本页允许的解

求 $ {}^{\mathrm C}D_0^\alpha u=1$、u(0)=2。由式(3)，

u(t)=2+\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)},\qquad u'(t)=\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}.

普通导数在零点附近无界，却在有限窗可积，所以u属于AC。Caputo导数在t>0等于1，其右极限也是1。把零长度积分机械填成0再要求方程在t=0成立，会把这份正确解错误拒绝。初始值是u的迹，微分方程在正时间几乎处处成立，二者承担不同职责。

如果另行要求u∈C¹[0,T]，则u′有界，式(1)给 $|{}^\mathrm C D_0^\alpha u(t)|\le\|u'\|_\infty t^{1-\alpha}/\Gamma(2-\alpha)\to0$ 。因此具有非零初始右端的方程一般没有这个过强光滑类的解。不能把后者当成本页AC解的不存在性。

归一化幂坐标让制造解可逐项检查

对p>0，直接积分导数得到

{}^{\mathrm C}D_0^\alpha\phi_p=\phi_{p-\alpha}, \qquad \phi_p(t)=\frac{t^p}{\Gamma(p+1)}. \tag{7}

由于p−α>−1，结果仍可积。p=0必须单独处理：φ₀=1的Caputo导数为零，不能把它按同一移位规则变成φ_{−α}。

例如α=1/2，取

u=2+\phi_{1/2}-2\phi_1+3\phi_{3/2}.

逐项得到

{}^\mathrm C D_0^{1/2}u=1-2\phi_{1/2}+3\phi_1, \qquad {}^\mathrm C D_0^{1/2}u+2u=5-\phi_1+6\phi_{3/2}. \tag{8}

这给一份带非零初值、奇异初始斜率和非恒定强迫的完整输入。若漏掉常数的特殊规则，右端会凭空多出 $2/\sqrt{\pi t}$ ；若漏掉初值，积分方程又会少2。

导数没有可无条件照抄的半群

取a,b>0、a+b<1，以及u=φ_b。由式(7)，$ {}^\mathrm C D_0^b u=1$，故

{}^\mathrm C D_0^a({}^\mathrm C D_0^b u)=0, \qquad {}^\mathrm C D_0^{a+b}u=\phi_{-a}\ne0. \tag{9}

这两个算式都在各自定义域内，不是靠非法求导造出的反例。第一次导数产生的非零初始常数，被第二次Caputo导数消去了。取a=b=1/3即可得到两个阶数都小于一的具体例子。

普通乘积法则也会失败。对u=t，$ {}^\mathrm C D_0^\alpha(t^2)=2t^{2-\alpha}/\Gamma(3-\alpha)$，而 $2t\,{}^\mathrm C D_0^\alpha t=2t^{2-\alpha}/\Gamma(2-\alpha)$ 。两者相差因子2−α；不能用熟悉的普通法则代替一次核积分。

推论与应用

重启必须携带旧导数的贡献

令0<a<t≤T。若当前点的积分有限，分拆定义得到

{}^\mathrm C D_0^\alpha u(t) ={}^\mathrm C D_a^\alpha u(t) +\frac1{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^a(t-s)^{-\alpha}u'(s)ds. \tag{10}

因此原方程 $ {}^\mathrm C D_0^\alpha u=F(t,u)$ 从a继续时，需要把最后的历史项移到右侧。只给u(a)、改写起点为a却保持相同F，通常会改变未来。

取u(t)=t、α=1/2、a=1。在t>1，原导数是 $2\sqrt t/\sqrt\pi$ ，重启导数是 $2\sqrt{t-1}/\sqrt\pi$ ，旧记忆为两者之差。在t=4，它仍是 $(4-2\sqrt3)/\sqrt\pi>0$ 。过去已经很远并不意味着其贡献精确为零。

图左的全记忆导数等于重启部分加旧记忆；图右的解连续而普通斜率无界，说明数值方法不能无条件假设零点附近二阶光滑。

从求解式走到可核验误差

线性常系数初值问题 $ {}^\mathrm C D_0^\alpha u=\lambda u+f$ 可化成 $u=u_0+I^\alpha(\lambda u+f)$ 。Mittag–Leffler响应将直接证明所构造解的AC正则性，并把差值积分不等式转成明确的误差上界。它还会展示：α小于一的衰减通常不满足普通指数响应的时间半群。

只在若干节点代入式(8)，可以检查实现，却不能验证一个任意函数的全区间等式。对有限归一化幂和，逐个不同指数合并后比较精确系数，再单独核初值和允许指数，才是一份完整代数证书。p=0的分支、起点和函数类都应随模型一起交付。

因果积分与分数阶初值终点将这份制造解、错误初值、非半群和重启公式放在同一次复算中，避免只核最后一个小数。

参考资料

Francesco Mainardi，A Tutorial on the Basic Special Functions of Fractional Calculus，2020，§2，式(2.7)–(2.9)：Caputo定义及初始迹修正。本文限定0<α<1、AC输入，并另行证明积分式的双向条件。
Lei Li、Jian-Guo Liu，A Generalized Definition of Caputo Derivatives and Its Application to Fractional ODEs，arXiv:1612.05103v5，2018，Lemma3.5、Proposition3.6及Theorem3.7，印页16–18；§4，Propositions4.2–4.3。该文允许更弱的分布定义；本页没有将其弱解结论直接称为经典AC解。

形式陈述 ​

定义包含函数类、阶数和记忆起点 ​

初值问题与积分问题何时等价 ​

为何积分回来会留下初值 ​

充分条件g属于AC如何真正给出AC解 ​

与Riemann–Liouville导数差的正是一份迹 ​

初始斜率无界，仍是本页允许的解 ​

归一化幂坐标让制造解可逐项检查 ​

导数没有可无条件照抄的半群 ​

重启必须携带旧导数的贡献 ​

从求解式走到可核验误差 ​

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