Beta 函数：两个端点与归一化积分

积分 $\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$ 同时照顾两个端点： $a$ 决定靠近0的质量， $b$ 决定靠近1的质量。Beta函数将这两个独立条件保留在同一个符号里。

形式陈述

对实数 $a,b>0$ ，定义

B(a,b)=\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt. \tag{1}

这是两端分别取极限的反常积分。因为在零附近 $(1-t)^{b-1}$ 有正的有限极限，在一附近 $t^{a-1}$ 也如此，两个条件准确地是 $a>0$ 、 $b>0$ ；任何一个不满足，正被积函数在对应端发散。

在分数阶积分的复合中，两个核在三角域换序后恰得到 $B(\beta,\alpha)$ ；两个正参数分别控制中间变量的两端。其Gamma比消去两次归一化，使 $I^\alpha I^\beta=I^{\alpha+\beta}$ 。这一阶数恒等式不等于从中途清空历史后的时间重启。

它与Gamma函数满足

\boxed{B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}}. \tag{2}

对正实数，分母严格为正。另有

B(a,b)=B(b,a),\quad B(a+1,b)=\frac a{a+b}B(a,b),\quad B(a,b+1)=\frac b{a+b}B(a,b). \tag{3}

以下从积分证明等式，避免先把归一化常数写进定义再用它“验证”自己。

直觉

把两个正数 $u,v$ 改写为总量 $r=u+v$ 与比例 $t=u/(u+v)$ 。总量可以从0到无穷，比例只能在0与1之间。指数项 $e^{-(u+v)}$ 只依赖总量，幂权则分成一个总量幂和一个比例幂。Gamma积分负责总量，Beta积分负责比例。

非负性使Tonelli定理允许先写

\Gamma(a)\Gamma(b) =\int_0^\infty\!\int_0^\infty u^{a-1}v^{b-1}e^{-u-v}\,du\,dv.

令 $u=rt,v=r(1-t)$ ，则 $r>0,0<t<1$ ，且

\left|\det\frac{\partial(u,v)}{\partial(r,t)}\right|=r.

在 $r$ 有界且远离0、 $t$ 远离两个端点的紧矩形上使用多元积分换元，再由非负单调极限扩大到整个区域。所得积分为

\int_0^\infty r^{a+b-1}e^{-r}dr \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt =\Gamma(a+b)B(a,b).

Jacobian的一个 $r$ 不能漏：漏掉它会把总量指数错写成 $a+b-2$ ，产生错误的Gamma参数。

对称式由 $t\mapsto1-t$ 得到；两条递推由式(2)和Gamma递推得到。也可以先用 $t+(1-t)=1$ 得到 $B(a+1,b)+B(a,b+1)=B(a,b)$ ，再以有限截断分部积分建立两者的比例。

例子与边界

正整数 $m,n$ 给

B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}.

例如 $B(2,3)=1/12$ ，直接展开 $t(1-t)^2$ 积分也得 $1/2-2/3+1/4=1/12$ 。这个检查特别容易发现分母误写成 $(m+n)!$ 的一位偏差。

在 $a=b=1/2$ 时，取 $t=\sin^2\theta$ ，并先在内部截断区间换元，得到

B(1/2,1/2)=2\int_0^{\pi/2}d\theta=\pi.

两端虽都无界，面积仍有限；它不是在端点直接访问函数值的闭型求积输入。

以 $t=x/(1+x)$ 换元， $dt=dx/(1+x)^2$ ，得

\int_0^\infty\frac{x^{a-1}}{(1+x)^{a+b}}dx=B(a,b) \qquad(a,b>0). \tag{4}

例如 $\int_0^\infty x/(1+x)^5dx=B(2,3)=1/12$ 。零端约为 $x$ ，远端约为 $x^{-4}$ ，两个收敛检查与参数 $a=2,b=3$ 一致。

更一般地， $p,q,r>0$ 时

\int_0^\infty\frac{x^{p-1}}{(1+x^q)^r}dx =\frac1q B\!\left(\frac pq,r-\frac pq\right) \quad\text{当且仅当 }0<p<qr.

先令 $y=x^q$ 再用式(4)。边界 $p=qr$ 的尾部成为 $1/x$ ，不能把有极点的Beta表达当有限积分值。

推论与应用

归一化权

w_{a,b}(t)=\frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{B(a,b)}

积分恰为1。由式(3)，它的一次加权积分为 $a/(a+b)$ ，二次为 $a(a+1)/[(a+b)(a+b+1)]$ 。这是两个积分比的结果；若把它解释为随机变量密度，另需概率模型，本页不替代相应分布条目。

复参数也有清楚版本：当 $\Re a,\Re b>0$ 时仍按实对数定义端点幂，绝对值由实参数Beta积分控制。上述双积分的绝对值积分有限，Fubini定理允许同样换序，得到

\Gamma(a)\Gamma(b)=\Gamma(a+b)B(a,b).

特别取 $b=1-a$ 、 $0<\Re a<1$ ，分母对应 $\Gamma(1)=1$ ，可安全写 $B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a)$ 。反射公式将这个特例进一步化成三角函数。

参考资料

NIST DLMF，§5.12, Euler’s Beta Integral，式5.12.1、5.12.2、5.12.3：端点积分、三角换元与正半轴表示。
Frank Jones，Computational Complex Analysis，2018，Ch.6 §B，印页147–148（PDF第153–154页）：Beta积分及二重积分与Gamma关系。该书使用极坐标，本文用总量—比例坐标，并单独核对紧域换元后的极限。