反常积分：分别截断与尾部收敛

把 $\int_0^1x^{-1/2}dx$ 写在纸上时，端点的函数值根本不存在。它仍可以有有限积分，但必须先说明省略哪一段，再证明省略的贡献趋于零。

形式陈述

先定义有限的量，再让端点移动

设 $f$ 在 $[a,\infty)$ 的每个有限闭子区间上都Riemann可积。若有限极限

\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx=I

存在，定义反常积分 $\int_a^\infty f=I$ ，称其收敛。趋于正负无穷或没有极限都称发散，不把 $+\infty$ 当成本页的有限积分值。

若 $f$ 在 $(a,b]$ 的每个 $[c,b]$ 上可积，则改用 $\lim_{c\downarrow a}\int_c^b f$ 。若两端都有问题，选一个内部点 $d$ ，要求 $\int_a^d f$ 与 $\int_d^b f$ 分别收敛，再相加。整条实线也分别处理 $-\infty$ 与 $+\infty$ 。内部奇点须先切开，不能跨过奇点直接代入一个原函数。

尾部的Cauchy判据

无穷右端收敛当且仅当：对每个 $\eta>0$ ，存在 $A$ ，使所有 $R>S\ge A$ 都满足

\left|\int_S^R f(x)\,dx\right|<\eta. \tag{1}

证明只需把 $F(R)=\int_a^R f$ 视为实数或复数值函数。收敛立即使两个充分晚的值接近；反过来，式(1)先使整数序列 $F(n)$ 为Cauchy列而有极限，再用它控制任意 $R$ 与相邻整数，得到整个连续参数的极限。复值积分按实部、虚部分别定义。

若 $\int_a^\infty|f|<\infty$ ，称绝对收敛。由

\left|\int_S^R f\right|\le\int_S^R|f|

及式(1)，绝对收敛蕴含收敛。收敛但不绝对收敛称条件收敛。

直觉

截断积分是一段已经有意义的面积账目，极限问的是新加入的远尾能否再改变总数。非负尾部只能增加；有正负振荡的尾部则可能靠抵消趋于稳定。把绝对值放进去会删除抵消，因此是更强的要求。

两个坏端点分别取极限，是为了不让一种特定的删除顺序替你安排抵消。这个要求也决定换元怎样使用：先在每个合法有限区间换元，再追踪新端点趋向何处；收敛证书不能在换元中被省掉。

例子与边界

相同幂函数，两端条件相反

由微积分基本定理在截断区间计算原函数，得到

\int_1^\infty x^{-p}\,dx=\frac1{p-1}\quad(p>1), \qquad \int_0^1x^{-p}\,dx=\frac1{1-p}\quad(p<1).

其余参数发散； $p=1$ 的原函数是 $\log x$ 。特别地， $x^{-1/2}$ 在零点无界却可积， $x^{-2}$ 在无穷远可积，却不能把同一函数一直积到零。

若 $|f(x)|\le Cx^{-p}$ 对 $x\ge A$ 成立且 $p>1$ ，不但知道收敛，还得到

\left|\int_R^\infty f(x)\,dx\right| \le\frac C{p-1}R^{1-p}\qquad(R\ge A). \tag{2}

这是给定容差后选择截断点的直接规则。一般的非负比较同样由有限积分的单调性取极限得到。

振荡能收敛，却不能保证绝对收敛

对 $R>S\ge1$ ，在有限区间分部积分：

\int_S^R\frac{\sin x}{x}\,dx =\left[-\frac{\cos x}{x}\right]_S^R -\int_S^R\frac{\cos x}{x^2}\,dx.

右侧绝对值不超过 $1/R+1/S+(1/S-1/R)=2/S$ ，所以式(1)成立，并且无穷尾的模不超过 $2/S$ 。

绝对值积分却发散。在 $[k\pi+\pi/6,k\pi+5\pi/6]$ 上有 $|\sin x|\ge1/2$ ，这一段贡献至少

\frac12\frac{2\pi/3}{(k+1)\pi}=\frac1{3(k+1)}.

这些互不相交段的下界组成发散的调和级数。这里证明了收敛性与截断界，不需要预先知道整个积分的具体值。

对称主值不是普通收敛

对 $f(x)=x/(1+x^2)$ ，每个对称截断都有 $\int_{-R}^R f=0$ ；这给出对称的Cauchy主值0。但右半轴积分趋于 $+\infty$ ，左半轴趋于 $-\infty$ ，普通反常积分不存在。若改用 $[-R,cR]$ 、 $c>0$ ，积分趋于 $\log c$ ，清楚显示抵消顺序会改变结果。

推论与应用

奇异端点的数值求积至少有两种误差：有限区间规则本身的误差，以及被截掉端点的尾误差。式(2)只控制后者，不能替代采样规则的误差分析；程序输出很多小数位也不证明原积分收敛。

对 $|f(x)|\le C(1-x^2)^{-\alpha}$ 、 $0\le\alpha<1$ 的两端可积奇性，tanh–sinh变换将端点移到实线无穷远，并给 $e^{-ce^{|t|}}$ 型尾包络。这个包络只负责尾部；可靠有限求积还要独立证明复条带离散界，并包含函数评估误差。直接将节点舍入成端点后再计算发散函数，不属于该证书。

Gamma积分与Beta积分把幂型端点条件变成参数范围。Mellin变换进一步要求同时照顾零端和无穷端，两个不等式相交后才得到收敛带。

Abel径向反演使用平方根端点核。两次奇异积分的复合，经绝对积分控制和换序后变成π倍普通积分，再在密度连续点求导；分层跳点的单独赋值不能恢复。这个例子说明可积奇性可以承载可逆的累计信息，但直接把求导移进奇异核并不自动合法。

若函数局部Riemann可积且绝对反常可积，它也Lebesgue可积，两值相同；条件收敛例子则不是通常有限Lebesgue积分。积分概念的范围与数值方法的选择应分别核对。

参考资料

Gilbert Strang、Edwin Herman，OpenStax，Calculus Volume 2, §3.7 “Improper Integrals”：无穷区间、奇异端点和比较。本文另外给出Cauchy尾判据、显式振荡尾界与不对称截断反例。
Cauchy尾判据由实数完备性证明，条件收敛的上下界与不对称截断值在本页直接推导；不以数值积分结果充当收敛证据。

形式陈述 ​

先定义有限的量，再让端点移动 ​

尾部的Cauchy判据 ​

相同幂函数，两端条件相反 ​

振荡能收敛，却不能保证绝对收敛 ​