Gamma 函数：递推、延拓与极点

$t^{x-1}$ 改变各尺度的权重，而 $e^{-t}$ 压住远尾。指数增加一时，分部积分把多出的一个 $t$ 转成前面的乘数 $x$，这正好复制阶乘递推。非整数输入因此不是插值表猜出来的值，而是同一个面积族。

延拓则是另一件事：当零端积分不再收敛，递推仍可能给出有限函数值。此时有限值来自延拓，不能声称原积分“其实也等于它”。

为什么允许参数变化和微分 ​

在紧集 $0<a\le \mathrm{Re}z\le b$ 上，零端可由 $t^{a-1}$ 控制，远尾可由 $t^{b-1}{e}^{-t}$ 控制。求第 $k$ 阶参数导数只多出 $(\log t{)}^k$；这两个端点仍可积。用略宽的实部区间控制差商，控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。便给

所以式(1)确实在 $\mathrm{Re}z>0$ 上全纯，不能仅凭每个参数处积分存在就跳过这一步。

递推与延拓怎样接起来 ​

先在 $[\delta ,R]$ 上用微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。作分部积分。因 $t^z{e}^{-t}$ 在两端都趋零，得到式(2)。给定不在非正整数上的 $z$，选整数 $m\ge 0$ 使 $\mathrm{Re}(z+m)>0$，定义

空乘积取1。多选一步会同时在分子、分母乘上 $z+m$，所以定义不依赖 $m$。各半平面的定义在重叠处一致，因而形成同一个延拓。

在 $z=-n$ 附近取 $m=n+1$，分子趋于 $\mathrm{\Gamma }(1)=1$，分母除因子 $z+n$ 外的乘积趋于 $(-1{)}^{n}n!$。于是

其中负一次系数正是Laurent展开理路Laurent 级数Laurent series · 洛朗级数全纯函数在指定环域上有唯一的双边幂级数展开，其系数由环域内圆周积分确定。给出的局部留数；没有在极点直接代入递推并除以零。

半整数为什么出现平方根π ​

令 $J={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}du$。非负函数的Tonelli定理理路Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。与极坐标换元理路多元积分换元定理Multivariable change of variables theorem · Jacobian substitution theorem · 重积分换元在C¹微分同胚和紧Jordan域上证明绝对Jacobian换元公式，区分有向符号、零测边界和重复覆盖。给

换元先在避开原点、坐标轴和无穷远的紧扇区上进行，再让这些扇区递增覆盖第一象限；非负积分的极限补回遗漏部分。由 $J>0$ 及 $t=u^2$，$\mathrm{\Gamma }(1/2)=2J=\sqrt{\pi }$。递推继续给

第二个值是延拓值。$t^{-3/2}{e}^{-t}$ 在零点的积分发散，绝不会积出负数。

一个可复算的截断界 ​

对实数 $x>0$、$0<\delta <1$，零端遗漏不超过

若 $R\ge max\{1,2max(x-1,0)\}$，则对 $t\ge R$，

因此远尾不超过 $2R^{x-1}{e}^{-R}$。这两个界加上有限区间求积误差，才构成完整数值证书。小 $x$ 时 ${\delta }^x/x$ 下降很慢，直接缩小截断点可能代价很高。

换元 $u=ct$，$c>0$，得到

这统一了许多幂乘指数积分，也解释了旧卡方与平方Bessel密度中出现的归一化常数；本页不重新推导那些随机模型。

Gamma还负责非整数次累计的归一化。分数阶积分理路Riemann–Liouville分数阶积分Riemann–Liouville fractional integral · Riemann-Liouville fractional integral · 左侧分数阶积分在固定记忆起点上定义归一化幂核积分，证明L1与连续输入的接口、阶数半群、幂函数迁移及端点迹，区分阶数复合与时间重启。把连续次数写进幂核，Beta恒等式保证阶数可相加；Mittag–Leffler响应理路Mittag–Leffler响应与分数阶松弛Mittag–Leffler function · Mittag-Leffler relaxation · 分数阶松弛响应以Gamma分母级数求线性分数阶初值响应，证明绝对连续与弱奇异比较界，并为半阶松弛给正积分、代数长尾和有限截断证书。则以 $\mathrm{\Gamma }(1+\alpha n)$ 替代 $n!$，同时保留初始普通导数可能奇异的边界。

单凭 $F(1)=1$ 和 $F(x+1)=xF(x)$ 不能唯一决定正实函数。Bohr–Mollerup定理理路Bohr–Mollerup 定理：阶乘延拓的唯一性Bohr–Mollerup theorem · Bohr-Mollerup theorem以正性、阶乘递推、归一化和对数凸性唯一刻画Gamma函数，用相邻整数的弦斜率给出可计算夹逼，并排除周期扰动。增加对数凸性后证明唯一性；反射公式理路Gamma 反射公式与钥匙孔围道Gamma reflection formula · Euler reflection formula · Euler 反射公式证明Gamma在z和1−z处的乘积等于π除以sinπz，明确幂分支、围道方向、两端圆弧误差和整数极点边界。则比较 $z$ 与 $1-z$，是不同于逐次移动整数步长的关系。