平方 Bessel 过程 | Codeboy's Blog

形式陈述

若一个非负量的噪声强度随其平方根变化，怎样描述它的分布与零边界行为？给定维数参数 $\delta\ge0$ 和起点 $z\ge0$ ，平方 Bessel 过程 $Z$ 是非负连续的随机微分方程解：

dZ_t=\delta\,dt+2\sqrt{Z_t}\,dW_t,\qquad Z_0=z.

记其分布为 $\operatorname{BESQ}_z(\delta)$ 。若按全实线系数书写一般 SDE，可取 $b(x)=\delta$ 、 $\sigma(x)=2\sqrt{x^+}$ ，并选取从 $z\ge0$ 出发的非负解；在这个不变状态空间上恰好恢复上式。这个方程具有路径唯一的非负强解；“强解”指在给定驱动 Brownian 运动上构造适应解，区别见SDE 的强解与弱解。系数 $2\sqrt z$ 在零处不是 Lipschitz 函数，因此一般的全局 Lipschitz 存在唯一性定理不能直接替代这里的专门结果。

对 $\lambda\ge0$ ，其一时刻 Laplace 变换是

E_z e^{-\lambda Z_t} =(1+2\lambda t)^{-\delta/2} \exp\left(-\frac{z\lambda}{1+2\lambda t}\right).

这个式子同时覆盖整数和非整数维数。“维数”在非整数情形是 SDE 的漂移参数，不表示真的存在半个或一点五个 Brownian 坐标。

直觉

$Z$ 大时随机波动大，接近零时随机系数缩小，而正漂移 $\delta$ 仍把它向上推。零附近的行为取决于这两股作用的精确平衡，临界值是 $\delta=2$ 。

用半径平方而不是半径，消除了半径方程中 $1/R$ 型的奇异漂移。代价是扩散系数在零处只有平方根规则性，但非负状态空间和零边界的含义更加直接。

例子与边界

整数维数来自独立坐标的平方和

设 $\delta=d$ 为正整数， $W^1,\ldots,W^d$ 是相互独立的标准 Brownian 运动，采用它们的联合自然增广滤过，并令 $\sum_i x_i^2=z$ 。定义

Z_t=\sum_{i=1}^d(x_i+W_t^i)^2.

Itô 公式给

dZ_t=d\,dt+2\sum_i(x_i+W_t^i)dW_t^i.

在 $Z_t>0$ 时用单位向量 $(x_i+W_t^i)/\sqrt{Z_t}$ 投影噪声；在 $Z_t=0$ 时任取一个固定单位向量。所得一维随机积分的二次变差为 $t$ ，由Lévy 刻画是 Brownian 运动，故噪声项可以写成 $2\sqrt{Z_t}\,dB_t$ 。

若 $z=0$ 且 $t>0$ ，每个 $W_t^i/\sqrt t$ 都是独立标准正态变量，所以 $Z_t/t$ 服从自由度 $d$ 的卡方分布。这是整数维数的几何解释，而不是非整数模型的定义。

一个非整数维数的完整边缘分布

取 $z=0,\delta=3/2$ ，并固定 $t>0$ 。Laplace 变换成为 $(1+2\lambda t)^{-3/4}$ ，对应密度

p_t(y)=\frac{y^{-1/4}e^{-y/(2t)}}{(2t)^{3/4}\Gamma(3/4)},\qquad y>0,

其中 $\Gamma(r)=\int_0^\infty v^{r-1}e^{-v}dv$ 。替换 $y=2tv$ 即可检查积分为一。均值为 $3t/2$ ，方差为 $3t^2$ 。密度在零附近很高，却不在零点含概率原子；高密度和点质量是不同概念。

一般地，当 $z=0,\delta>0,t>0$ 时， $Z_t/(2t)$ 有形状参数 $\delta/2$ 、尺度一的 Gamma 密度。若 $\delta=0,z=0$ ，过程恒为零；不能把“形状为零的 Gamma 密度”当作普通密度使用。

零边界的三种行为

$\delta=0$ ：从正点出发几乎处处有限时到零，之后吸收于零
$0<\delta<2$ ：从正点出发几乎处处有限时到零，之后即时离开；在零处花费的 Lebesgue 时间为零
$\delta\ge2$ ：从正点出发不碰零；从零出发则立即进入正半轴，之后不返回零

特别地，二维 Brownian 运动可以反复进入任意小的原点邻域，但从非零点出发不会碰到原点本身。不能把“无限接近”替换成“击中”。

推论与应用

由指数试探函数推导 Laplace 变换

生成元在 $y>0$ 上是 $\mathcal L=\delta\partial_y+2y\partial_{yy}$ 。设

v(t,y)=a(t)e^{-b(t)y},\qquad v(0,y)=e^{-\lambda y}.

代入 $v_t=\mathcal Lv$ ，分别比较常数项与 $y$ 项，得

b'=-2b^2,\qquad a'/a=-\delta b, \qquad b(0)=\lambda,\quad a(0)=1.

解出 $b(t)=\lambda/(1+2\lambda t)$ 、 $a(t)=(1+2\lambda t)^{-\delta/2}$ 。对固定 $T$ ，Itô 公式使 $v(T-s,Z_s)$ 的漂移为零；它有界于一，局部化后由控制收敛定理可取期望并去掉停时。因此 $v(T,z)=E_z e^{-\lambda Z_T}$ ，得到所述变换。

令 $\phi(\lambda)=E e^{-\lambda Z_t}$ 。沿 $\lambda\downarrow0$ ，非负量 $(1-e^{-\lambda Z_t})/\lambda$ 及其平方分别递增到 $Z_t$ 和 $Z_t^2$ 。单调收敛定理因此允许用

\frac{1-\phi(\lambda)}{\lambda},\qquad \frac{1-2\phi(\lambda)+\phi(2\lambda)}{\lambda^2}

的极限求一、二阶矩，而无需预先假定这些矩有限。代入显式变换展开，得到

E_zZ_t=z+\delta t,\qquad \operatorname{Var}_z(Z_t)=4zt+2\delta t^2.

对 $\delta>0$ ，令 $\lambda\to\infty$ ，变换趋零，所以每个固定 $t>0$ 的 $P(Z_t=0)=0$ 。时间积分与非负性于是说明过程在零处花费的总时间为零。

临界维数二从哪里出现

在 $0<a<z<b$ 间停止，寻找满足 $\mathcal Lh=0$ 的函数。直接计算得到

h(y)=\begin{cases} y^{1-\delta/2},&\delta\ne2,\\ \log y,&\delta=2. \end{cases}

记 $\tau=T_a\wedge T_b$ 。它几乎处处有限： $\delta>0$ 时由 $E Z_{t\wedge\tau}=z+\delta E(t\wedge\tau)\le b$ 得到退出时间界； $\delta=0$ 时用下文的 $v$ 给出同样的有限性。停止后的 $h(Z)$ 有界，应用连续时间的有界可选采样，再以控制收敛去掉时间截断，得到先碰下边界的概率

P_z(T_a<T_b)=\frac{h(b)-h(z)}{h(b)-h(a)}.

若 $\delta\ge2$ ， $a\downarrow0$ 时这个概率趋零，所以任何有限上界以内都不能碰零。再让上界遍历正整数，排除全部有限时碰零事件。

若 $0\le\delta<2$ ，令 $q=1-\delta/2>0$ ，则下边界趋零时，概率趋向 $1-(z/b)^q$ 。这里还要确认趋向零发生在有限时间。对 $\delta>0$ ，停止恒等式 $E Z_{t\wedge\tau}=z+\delta E(t\wedge\tau)\le b$ 给统一的退出时间界 $E\tau\le b/\delta$ 。对 $\delta=0$ ，使用非负函数 $v(y)=\frac12 y\log(b/y)$ ，它满足 $\mathcal Lv=-1$ ，给出 $E\tau\le v(z)$ 。故可以让 $a\downarrow0$ ，得到有限时退出到 $0$ 或 $b$ ；再令 $b\to\infty$ ，碰零概率趋一。

零维情形到零后，零过程是解，路径唯一性迫使它吸收。正维情形则由前面的无零点原子与强 Markov 性得到即时、无粘滞的离开。边界分类因此既有尺度函数的击中分析，也有到达后的方程与分布分析。

参考资料

Jim Pitman and Matthias Winkel, 《Squared Bessel processes of positive and negative dimension embedded in Brownian local times》，§1 的 SDE、维数与击中分类；§3, Lemma 9(a) 的零起点 Gamma 边缘分布。

形式陈述 ​

整数维数来自独立坐标的平方和 ​

一个非整数维数的完整边缘分布 ​

零边界的三种行为 ​

由指数试探函数推导 Laplace 变换 ​