Brownian 凸函数的 Itô–Tanaka 公式

平滑曲线的曲率铺在整个空间上，折线的曲率集中在转折点。普通二阶导数只记录前一种情形；曲率测度把二者放进同一个对象中。

Brownian 路径每经过一个弯曲区域，都产生 Itô 的二阶修正。曲率连续分布时，按普通占据时间累加；曲率集中在一点时，按该点的局部时间累加。公式前的 $1/2$ 与曲率原子的质量必须一起计算。

平滑曲率加两个不同折点 ​

取

三个部分的二阶曲率分别是 $2da$、$2{\delta }_1$、$2{\delta }_2$，所以

在非折点处，$f_{-}^{\prime }(x)=2x+\mathrm{sgn}(x-1)+2{\mathbf{1}}_{\{x>2\}}$；在 $1,2$ 处使用左极限。若 $W_0=0$，$f(0)=1$，于是

连续曲率贡献 $\int L_t^{a}da=t$，两个折点各贡献一份局部时间。这不是简单地给 $|W_t|$ 平移一个阈值，而是同时核算空间连续部分与多个原子。

若只取 $g(x)=(x-K{)}^{+}$，斜率从零跳到一，故 $g^{″}={\delta }_K$，修正项是 $L_t^K/2$。绝对值函数的斜率跳跃是二，才得到整份局部时间。混用这两个原子质量会产生常见的二倍误差。

哪些不光滑函数仍不在范围内 ​

局部 Lipschitz 连续本身并不保证在每个紧区间上是两个凸函数之差。这里需要导数具有局部有界变差，才能把二阶分布导数变成局部有限测度。若只有一般分布而没有这样的测度结构，就不能直接写 $\int L_t^a{f}^{″}(da)$。

从左导数构造曲率测度 ​

对有限凸函数，三点弦斜率的不等式使左右导数存在、在紧区间上有界，并给出 $f_{-}^{\prime }$ 左连续且非减。对 $a<b$，定义

它扩张成非负Radon 测度公理库Radon 测度Radon measure · 拉东测度局部紧 Hausdorff 空间上紧有限、对全部 Borel 集外正则且对开集紧内正则的测度。。特别地，点 $a$ 的质量是

恰等于斜率的跳跃。若 $f\in C^2$，该测度就是 $f^{″}(a)da$。半开区间的方向与采用左导数的约定相配；若改用右导数，区间约定也要相应调整。

对紧支撑光滑测试函数 $\phi$ 分部积分，可得 $\int \phi d{\mu }_f=\int f{\phi }^{″}da$，所以这个斜率增量构造确实就是分布二阶导数。

光滑化如何保留折点质量 ​

取由非负、积分为一的光滑紧支撑函数缩放得到的近似恒等核公理库近似恒等核Approximate identity · Approximation to the identity总质量固定、绝对质量向原点集中且没有放大失控的卷积核族，使局部平均在有限 Lp 范数中恢复输入。 ${\rho }_{\epsilon }$，令 $f_{\epsilon }=f\ast {\rho }_{\epsilon }$。由于核紧支撑，这个卷积只读取局部可积的 $f$，每个位置都定义良好。要在固定紧区间上应用近似恒等定理，可先把 $f$ 乘以在稍大区间等于一的光滑紧支撑截断；足够小的卷积窗口看不到截断，且截断后的连续函数有界、一致连续。于是局部的一致逼近来自该定理的有界一致连续版本。分布求导给出

原本集中在点上的曲率被摊成一小团，总质量保持不变。先把 Brownian 运动停在离开 $[-R,R]$ 的时刻，记 ${\tau }_R$。对光滑 $f_{\epsilon }$ 使用Itô 公式公理库Itô 公式Itô formula · Ito formula · Itô lemma为半鞅的光滑函数换元加入二次协变差与跳跃补偿项的随机链式法则。与占据公式：

第一项的极限由Itô 等距公理库Itô 等距Itô isometry · Ito isometry把 Brownian Itô 积分的终点二阶矩精确等同于被积过程的预测平方能量。控制。凸函数导数的跳点至多可数，Brownian 在每个固定水平花费的时间为零；在其他点，$f_{\epsilon }^{\prime }\to f^{\prime }$。导数在稍大的紧区间上一致有界，控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。先给出预测 $L^2$ 收敛，因而随机积分均方收敛到 $\int f_{-}^{\prime }(W_s)d{W}_s$。

第二项用局部时间的空间连续性。核紧支撑、局部时间有界且曲率测度在相应紧集上有限，保证双重积分绝对可积。用Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。将卷积转移到 $L$ 上，得到 $\int (L\ast {\check{\rho }}_{\epsilon })(a){\mu }_f(da)$。局部时间在有限时间的路径范围外为零，是连续紧支撑函数；其卷积一致收敛于自身，而曲率测度在附近紧集上质量有限，故积分趋向 $\int L^a{\mu }_f(da)$。

函数值项在紧集上一致收敛。最后让 $R\to \mathrm{\infty }$，每条有限时间 Brownian 路径终会被某个紧区间包含，便得到所述公式。对两个凸函数之差，逐项相减即可。

普通 Itô 公式成为连续曲率特例 ​

若 $f\in C^2$，占据公式直接给

若 $f$ 是分段线性，修正项则是各折点局部时间乘以斜率跳跃的一半。两种熟悉的公式因此来自同一种曲率测度，而不是彼此无关的技巧。