Skorokhod 反射问题 | Codeboy's Blog

形式陈述

一个随时间变化的输入可能降到零以下，怎样只加上“恰好必要”的修正，让它保持非负？设 $x:[0,T]\to\mathbb R$ 连续且 $x(0)\ge0$ 。半直线上的 Skorokhod 反射问题要求寻找连续函数 $y,k$ ，使

y_t=x_t+k_t\ge0,\qquad k_0=0,

$k$ 非减，并满足

\int_0^T\mathbf1_{\{y_t>0\}}\,dk_t=0.

最后一条说：只有在输出 $y$ 接触零边界时，调节量才能增加。解唯一，而且显式为

k_t=\max\left(0,-\inf_{0\le s\le t}x_s\right),\qquad y_t=x_t+k_t.

这里的 $dk$ 是连续非减函数生成的 Stieltjes 测度，上式按Lebesgue 积分解释，因此无需假定 $k$ 可微。输入一旦创下新的负最低值，就增加恰好填平这个缺口的调节量。

直觉

把零想成地板。输入向下压到地板时，地板提供向上的推力；输入重新上升，推力就停止增加，但之前累计的推量不会收回。因此输出依赖过去最低点，而不仅依赖当前输入。

“输出非负”只规定可行性，能产生无穷多种过度修正。增长支撑条件排除了在离开边界时继续推高路径，才把修正变成唯一的最小方案。

例子与边界

逐段算出一次下探与回升

取

x_t=\begin{cases} 1-2t,&0\le t\le1,\\ t-2,&1\le t\le2. \end{cases}

输入在 $t=1/2$ 首次到零， $t=1$ 到达最低点 $-1$ ，随后回升到零。由运行最小值公式，

k_t=\begin{cases} 0,&0\le t\le1/2,\\ 2t-1,&1/2\le t\le1,\\ 1,&1\le t\le2, \end{cases} \qquad y_t=\begin{cases} 1-2t,&0\le t\le1/2,\\ 0,&1/2\le t\le1,\\ t-1,&1\le t\le2. \end{cases}

在中间一段，调节量增加，恰好抵消继续下降的输入；最后一段调节量固定，输出跟随输入回升。终点 $y_2=1$ ，而 $|x_2|=0$ ，所以路径反射绝不是逐点取绝对值。

若只要求 $y\ge0$ ，在任意解上再添加一个非减正修正也可能保持可行，但会在 $y>0$ 时推高路径，违反支撑条件。这个条件不能省去。

与同名定理、离散递推的区别

Skorokhod 表示定理把弱收敛随机变量耦合到共同概率空间；它讨论概率实现，不是本页的地板约束。Lindley 递推则在离散时刻更新非负等待量。两者名字或反射图像相近，本页实际解决的是任意连续输入的全时间最小调节问题。

推论与应用

存在性、最小性与唯一性

运行最小值随时间连续不增，故公式中的 $k$ 连续非减，且 $k_0=0$ 、 $x_t+k_t\ge0$ 。 $k$ 只可能在输入出现新的负最低值时增加；此时 $x_t=-k_t$ ，所以 $y_t=0$ 。存在性成立。

若另有可行非减修正 $\ell$ ，则对每个 $s\le t$ ，由 $x_s+\ell_s\ge0$ 和 $\ell_t\ge\ell_s$ 得 $\ell_t\ge-x_s$ 。再用 $\ell_t\ge0$ ，可知 $\ell_t\ge k_t$ 。所以所给修正在每个时刻都不超过任何可行修正。

还需证明满足支撑条件的修正不能严格更大。若某个开区间上 $\ell>k$ ，则 $x+\ell=(x+k)+(\ell-k)>0$ ，故 $\ell$ 在这个区间必须恒定；而 $k$ 非减，差值 $\ell-k$ 不可能从该区间左端的零开始变成正数。连续性与初始差为零排除了所有这种区间，因此 $\ell=k$ ，也就 $y=x+k$ 唯一。

输入误差如何传到反射输出

对两个输入 $x,z$ ，运行最小值满足

\left|\inf_{s\le t}x_s-\inf_{s\le t}z_s\right| \le\|x-z\|_\infty.

取负部也不会放大距离，所以

\|k^x-k^z\|_\infty\le\|x-z\|_\infty, \qquad \|y^x-y^z\|_\infty\le2\|x-z\|_\infty.

这使反射成为一致范数下的连续路径映射。随机游走若满足Donsker 原理，由连续映射定理，对路径施加反射后的弱极限就是反射 Brownian 运动。

为什么反射 Brownian 运动与绝对值同分布

把标准Brownian 运动 $W$ 作为输入，得到 $Y_t=W_t-\min_{s\le t}W_s$ 。它与 $|W_t|$ 不逐路径相同，但两者作为全过程同分布。

证明将Brownian 凸函数的 Itô–Tanaka 公式用于 $f(x)=|x|$ ，其曲率测度为 $2\delta_0$ ；配合局部时间得到

|B_t|=\widetilde W_t+L_t^0(B),\qquad \widetilde W_t=\int_0^t\operatorname{sgn}(B_s)\,dB_s.

由Lévy 刻画， $\widetilde W$ 是 Brownian 运动； $L^0(B)$ 连续非减且只在 $|B|=0$ 时增长。因此 $(|B|,L^0(B))$ 正是输入 $\widetilde W$ 的唯一反射解。输入 $W$ 与 $\widetilde W$ 同分布，连续反射映射的输出也同分布。这条论证同时指出，绝对值表示使用的是变换后的驱动噪声，不能悄悄把它换回原路径。

参考资料

Tomas Björk, 《The Pedestrian’s Guide to Local Time》，§3.4.1, Proposition 3.3；§3.5，Skorokhod 构造与反射 Brownian 运动。

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逐段算出一次下探与回升 ​

与同名定理、离散递推的区别 ​

存在性、最小性与唯一性 ​

输入误差如何传到反射输出 ​