连续映射定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $S,Y$ 为度量空间，均配备 Borel $\sigma$ -代数； $T:S\to Y$ 为 Borel 可测映射， $\mu_n,\mu$ 为 $S$ 上的概率测度。记 $D_T$ 为 $T$ 的不连续点集。如果

\mu_n\Rightarrow\mu, \qquad \mu(D_T)=0,

则

T_\#\mu_n\Rightarrow T_\#\mu.

这里左侧前提是测度的弱收敛，输出由推前测度定义： $(T_\#\mu)(B)=\mu(T^{-1}(B))$ 。度量空间间映射的连续点集是 $G_\delta$ 集，因此 $D_T$ 为 Borel 集；也可直接把条件写成：存在可测集 $C$ ， $\mu(C)=1$ ，且 $T$ 在 $C$ 的每个点连续。这里是在整个 $S$ 中连续，不只是限制映射 $T|_C$ 连续。

随机变量语言下，若 $X_n\xrightarrow d X$ 且 $\mathbb P(X\in D_T)=0$ ，则 $T(X_n)\xrightarrow d T(X)$ 。本定理不要求空间完备或可分，不要求 $T$ 有界。若 $T$ 处处连续，条件自动满足；对任意 $g\in C_b(Y)$ ， $g\circ T\in C_b(S)$ ，推前积分公式立即给出结论。真正需要进一步证明的是 $T$ 只在极限律下几乎处处连续的版本。

证明：闭集的原像只会在不连续点漏掉极限

取目标空间任意闭集 $F\subseteq Y$ ，令 $B=T^{-1}(F)$ 。可测性保证 $B$ 可测，但 $B$ 未必闭。直接将源空间的闭集不等式套到 $B$ 上是不合法的；需要先看它的闭包。

我们证明

\overline B\subseteq B\cup D_T.

若 $x\in\overline B$ 且 $x\notin D_T$ ，度量空间中可取 $x_j\in B$ 且 $x_j\to x$ 。由 $T$ 在 $x$ 连续， $T(x_j)\to T(x)$ 。每个 $T(x_j)\in F$ ，而 $F$ 闭，所以 $T(x)\in F$ ，即 $x\in B$ 。这说明补进闭包的点若不在原像里，只能是映射的不连续点。

现在对闭集 $\overline B$ 使用Portmanteau 定理：

\begin{aligned} \limsup_n(T_\#\mu_n)(F) &=\limsup_n\mu_n(B)\\ &\le\limsup_n\mu_n(\overline B)\\ &\le\mu(\overline B)\\ &\le\mu(B)+\mu(D_T)\\ &=\mu(B)=(T_\#\mu)(F). \end{aligned}

目标空间上每个闭集都满足上极限不等式，再用一次 Portmanteau 定理便得输出弱收敛。证明中的零质量条件恰好用来消去闭包可能多收进来的点，而没有要求 $\mu_n(D_T)=0$ 。

直觉

已知一列输入的分布趋于某个极限，经过同一个变换后，输出是否仍趋于相应极限？若变换是平方、取范数或坐标投影，邻近输入产生邻近输出，答案通常是肯定的。若变换是阈值判断，任意小的移动都可能把输出从 $0$ 翻为 $1$ ；此时必须检查极限分布是否把质量放在阈值上。

连续映射定理的关键是“极限分布看得见哪些不连续点”。它允许映射在别处不连续，也不要求输入随机变量本来定义在同一个概率空间。

例子与边界

同一输入，两种阈值

令 $\lambda$ 为 $[1,2]$ 上的均匀概率，考虑

\mu_n=\tfrac12\delta_{1/n}+\tfrac12\lambda, \qquad \mu=\tfrac12\delta_0+\tfrac12\lambda, \qquad n\ge1.

对每个 $f\in C_b(\mathbb R)$ ，两边连续部分抵消，得到

\int f\,d\mu_n-\int f\,d\mu =\tfrac12\bigl(f(1/n)-f(0)\bigr)\longrightarrow0.

所以输入确实弱收敛。下面只改变阈值位置，不改变输入列。

同一个质量为二分之一的原子趋向零：阈值零承载极限原子，推前不收敛；阈值二分之三处无极限原子，推前均为四分之三与四分之一的两点律。 — 阈值边界质量决定推前能否保留弱收敛

图中两行分别使用阈值 $0$ 和 $3/2$ 。圆点代表质量 $1/2$ 的移动原子，矩形代表 $[1,2]$ 上总质量 $1/2$ 的均匀部分；输出式给出 $0$ 、 $1$ 两点上的完整概率。

阈值落在极限原子上：结论失败

令 $T_0(x)=\mathbf1_{\{x>0\}}$ 。它只有一个不连续点 $0$ ，而 $\mu(\{0\})=1/2$ 。对所有 $n$ ，输入都位于正半轴，所以

(T_0)_\#\mu_n=\delta_1.

极限输入中一半质量位于 $0$ ，被送到 $0$ ；另一半仍送到 $1$ 。因此

(T_0)_\#\mu=\tfrac12\delta_0+\tfrac12\delta_1.

这两种输出不能弱收敛到彼此。用目标空间上的有界连续函数 $h(y)=y/(1+|y|)$ 检查，前者的积分恒为 $1/2$ ，后者为 $1/4$ 。差距没有趋零。

值得辨清的是，每个 $\mu_n(\{0\})$ 都为零。只检查近似分布是否避开不连续点，会在这个例子中给出错误判断；要检查的是极限律。失败也不是因为阈值映射不可测，它是合法的 Borel 映射，推前分布始终定义良好。

阈值处没有极限原子：虽不连续，结论仍成立

改为 $T_{3/2}(x)=\mathbf1_{\{x>3/2\}}$ 。其不连续点为 $3/2$ ，但均匀分布没有单点质量，故 $\mu(\{3/2\})=0$ 。移动原子始终满足 $1/n\le1<3/2$ ，贡献输出 $0$ 上的质量 $1/2$ ；均匀部分各有一半落在阈值两侧，各贡献 $1/4$ 。所以对每个 $n$ ，

(T_{3/2})_\#\mu_n =\tfrac34\delta_0+\tfrac14\delta_1 =(T_{3/2})_\#\mu.

这里输出不只是渐近接近，而是从第一项起就相同。映射本身不连续，定理照样适用，因为极限分布没有把正质量放在那个不连续点上。

推论与应用

事件概率

对 Borel 集 $A$ ，指标映射 $\mathbf1_A$ 的不连续点集恰是 $\partial A$ 。因此 $\mu(\partial A)=0$ 时，连续映射定理给出 Bernoulli 输出律收敛，等价于 $\mu_n(A)\to\mu(A)$ 。这与 Portmanteau 的连续集条目相接：事件的硬边界就是映射的不连续位置。零边界质量是保证结论的充分条件；条件失败时可能失败，也可能因具体序列而仍然收敛，不能据此反推一定失败。

统计变换及其边界

平方、绝对值与范数都是处处连续变换，可以直接传递依分布极限。比值则必须处理分母为零的位置：例如把 $T(x,y)=x/y$ 在 $y=0$ 处任意定义为某个有限值，得到全域可测映射后，若极限向量满足 $\mathbb P(Y=0)=0$ ，就可应用本定理。若输入本身随 $n$ 使用不同映射 $T_n$ ，本页的固定映射陈述不能直接替代额外的逼近论证。

定理只给输出的分布极限，不给输出矩的极限。即使 $T$ 连续， $T$ 本身也可能无界；测试输出弱收敛时有界的是 $g\in C_b(Y)$ ，不是要求所有输出期望都收敛。

参考资料

Jon A. Wellner, Chapter 11: Convergence in Distribution, §1, Theorem 1.2, p. 7：一般度量空间、Borel 可测映射与极限律下几乎处处连续的正式陈述；同页使用 Mann–Wald 名称。

形式陈述 ​

证明：闭集的原像只会在不连续点漏掉极限 ​

同一输入，两种阈值 ​

阈值落在极限原子上：结论失败 ​

阈值处没有极限原子：虽不连续，结论仍成立 ​

事件概率 ​

统计变换及其边界 ​

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