Brownian 局部时间 | Codeboy's Blog

形式陈述

Brownian 运动在每个固定点停留的总时长都是零，为什么还能说它在某些位置“停留得更密”？设 $W$ 是从零出发的一维Brownian 运动。它有一个非负、关于 $(t,a)$ 联合连续的局部时间版本 $L_t^a$ ，在同一个概率一事件上，对所有 $t\ge0$ 及非负 Borel 函数 $g$ ，满足如下积分恒等式：

\int_0^t g(W_s)ds=\int_{\mathbb R}g(a)L_t^a\,da

左侧按时间累加路径读数，右侧按位置累加； $a\mapsto L_t^a$ 就是截至 $t$ 的占据测度相对于空间长度的密度。

采用这一归一化，

L_t^a=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\frac1{2\varepsilon} \int_0^t\mathbf1_{\{|W_s-a|<\varepsilon\}}ds.

分母是邻域的总宽度 $2\varepsilon$ ，不能漏掉二。对每个水平 $a$ ， $t\mapsto L_t^a$ 连续不减，且只在 $W_t=a$ 时增加，精确地说

\int_0^t\mathbf1_{\{W_s\ne a\}}\,dL_s^a=0.

直觉

把路径在一条窄水平带内花的时间收集起来，再除以带宽，就像直方图的柱高。带宽缩小后，总时间也趋零，但二者的比值可以趋向非零量。局部时间的单位因此是“时间除以空间”，不是普通的停表时间。

增长只发生在精确水平上，与该水平的时间集合具有零长度并不冲突。连续递增函数可以把全部增长集中在零测集上；这里 $dL^a$ 记录的就是这种奇异增长。

例子与边界

零停留时间与正局部时间

对固定 $a$ ，由于 $W_s$ 在 $s>0$ 有连续正态密度，Fubini 定理给

E\int_0^t\mathbf1_{\{W_s=a\}}ds =\int_0^tP(W_s=a)ds=0.

被积时间非负，所以它几乎处处为零。后文的固定水平 Tanaka 表示含一个有界被积过程的真鞅积分，因此 $E L_t^a=E|W_t-a|-|a|$ 。用正态密度计算，也得到

E L_t^a=\int_0^t\frac1{\sqrt{2\pi s}}e^{-a^2/(2s)}ds.

对 $t>0$ ，积分可化为

E L_t^a =\sqrt{\frac{2t}{\pi}}e^{-a^2/(2t)} -2|a|\left[1-\Phi\left(\frac{|a|}{\sqrt t}\right)\right].

例如 $t=1,a=1$ 时，期望约为 $0.1666$ 。路径需要先到达离起点一个单位的水平，才能开始在那里累积局部时间，因此比原点的值 $\sqrt{2/\pi}$ 小得多。这个公式也可通过对右端关于 $t$ 求导并检查 $t\downarrow0$ 极限验证。

密度归一化的两次检查

令 $g\equiv1$ ，占据公式给 $\int_{\mathbb R}L_t^a\,da=t$ 。所以局部时间曲线下面积是总观察时间。

令 $g=\mathbf1_{(a-\varepsilon,a+\varepsilon)}$ ，得到邻域停留时间等于 $\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}L_t^x dx$ 。除以 $2\varepsilon$ 并用空间连续性，就恢复定义中的对称邻域极限。数值计算中的有限带宽直方图只是它的近似；固定离散网格不会精确记录所有穿越。

推论与应用

从光滑绝对值构造固定水平的局部时间

设 $\phi_\varepsilon(x)=\sqrt{x^2+\varepsilon^2}$ 。其二阶导数为

\phi_\varepsilon''(x)=\frac{\varepsilon^2}{(x^2+\varepsilon^2)^{3/2}}\ge0, \qquad\int_{\mathbb R}\phi_\varepsilon''(x)dx=2.

对 $\phi_\varepsilon(W_t-a)$ 使用Itô 公式，可把非负递增项写为

L_{t,\varepsilon}^a :=\frac12\int_0^t\phi_\varepsilon''(W_s-a)ds =\phi_\varepsilon(W_t-a)-\phi_\varepsilon(-a) -\int_0^t\phi_\varepsilon'(W_s-a)\,dW_s.

$\phi_\varepsilon$ 一致趋近绝对值，导数有界于一，并在非零点趋向符号函数。Brownian 在固定水平花费的时间为零，导数差的平方又不超过 $4$ ，故控制收敛定理给出预测 $L^2$ 收敛。Itô 等距控制积分终点；在有限网格应用Doob 的 $L^2$ 最大界并借连续性取极限，便得整段积分一致依概率收敛。极限是

L_t^a=|W_t-a|-|a|-\int_0^t\operatorname{sgn}(W_s-a)\,dW_s.

可选子列使收敛在紧时间区间上一致且几乎处处成立，因而固定水平的极限仍连续不减。若某段路径与 $a$ 相距至少 $d>0$ ，则该段 $\phi_\varepsilon''\le\varepsilon^2/d^3$ ，极限没有增长。这便解释了增长支撑条件。

为什么能同时选择所有水平的连续版本

固定 $a$ 的构造不能直接对不可数多个 $a$ 合并零集。补上的关键估计是：对紧空间区间及整数 $m\ge2$ ，

E\left[\sup_{s\le T}|L_s^a-L_s^b|^{2m}\right] \le C_{m,T,R}|a-b|^m,\qquad |a|,|b|\le R.

其机制可从上式看出。两个符号函数的差只在 $W_s$ 位于 $a,b$ 之间时非零。Burkholder–Davis–Gundy 高阶鞅最大矩不等式把随机积分的 $2m$ 阶最大矩，界为该区间占据时间的 $m$ 阶矩。将后者展开为 $m$ 重时间积分，并按时间排序，Brownian 转移密度给出 $|a-b|^m\prod_j(s_j-s_{j-1})^{-1/2}$ 的界；这些时间奇点可积。绝对值项则直接由 $|a-b|$ 控制。

把Kolmogorov 判据的连续函数空间版本用于取值于 $C[0,T]$ 的映射 $a\mapsto L_\cdot^a$ ，就得到空间变量下的一致时间连续性，因而得到联合连续版本。这一额外估计是从单水平公式走到空间密度的实质步骤。

占据公式如何从构造中出现

对连续紧支撑的 $g$ ，将 $L_{t,\varepsilon}^a$ 乘以 $g(a)$ 后对 $a$ 积分。Fubini 给出

\int g(a)L_{t,\varepsilon}^a da =\int_0^t(g*\eta_\varepsilon)(W_s)ds, \qquad\eta_\varepsilon=\frac12\phi_\varepsilon''.

$\eta_\varepsilon$ 非负、总质量一且集中于零，所以右端趋向 $\int_0^t g(W_s)ds$ 。左端由固定水平的均方收敛及紧集上的一致矩界，趋向 $\int g(a)L_t^a da$ 。先在可数稠密的测试函数族上同时取极限，再由测度唯一性扩展到所有非负 Borel 函数，得到形式陈述中的占据公式。

局部时间还使普通二阶导数推广为曲率测度：凸函数的 Itô–Tanaka 公式用 $\frac12\int L_t^a f''(da)$ 记录平滑曲率与折点的共同贡献。

参考资料

Tomas Björk, 《The Pedestrian’s Guide to Local Time》，Theorem 3.1、§3.3、§5.1–5.3，连续版本、光滑化、局部时间支撑与占据密度。

形式陈述 ​

零停留时间与正局部时间 ​

密度归一化的两次检查 ​

从光滑绝对值构造固定水平的局部时间 ​

为什么能同时选择所有水平的连续版本 ​