Lévy 的 Brownian 刻画

连续局部鞅排除了可预测的系统漂移，二次变差记录累计随机波动的强度。若强度恰好等于物理时间，这个过程便没有可自由选择的局部尺度；剩下的路径规律被迫成为 Brownian 运动。

但“没有漂移”和“波动强度正确”是两个独立条件。只看平方增量，会漏掉有限变差项。定理的证明把两者装进一个复指数：漂移消去后，条件期望正好生成 Gaussian 特征函数。

随位置翻转噪声方向，仍然是 Brownian 运动 ​

令 $W$ 为 Brownian 运动，$\mathrm{sgn}(0)=0$，定义

连续适应的 $W$ 可预测，故它的 Borel 函数 $\mathrm{sgn}(W)$ 也可预测；该函数有界，因而积分是连续平方可积鞅。又因每个固定 $s>0$ 都有 $P(W_s=0)=0$，Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。给出

所以 Brownian 路径在零点集合上花费的 Lebesgue 时间为零，进而

由 Lévy 刻画，$M$ 仍是相对于 $W$ 原滤过的 Brownian 运动。它不是与 $W$ 独立的一份新噪声：$M$ 本来就是由 $W$ 的路径构造的。这里的独立性是 $M$ 的未来增量与过去信息独立，不能错换成两个全过程独立。

这个变换会出现在反射 Brownian 运动公理库Skorokhod 反射问题Skorokhod reflection problem · Skorokhod map on the half-line给连续输入加上仅在边界需要时增长的最小非减调节量，唯一地把整条路径保持在非负半轴。与局部时间公理库Brownian 局部时间Brownian local timeBrownian 路径在某个水平附近的占据时间除以邻域宽度，得到连续的空间密度，称为局部时间。的关系中。

二次变差不能侦测漂移 ​

取 $X_t=W_t+t$。有限变差项不改变二次变差，所以 $[X{]}_t=t$，它的规范分解含非零连续漂移 $t$，所以 $X$ 不是局部鞅：否则 $X-W=t$ 也会是连续有限变差局部鞅，只能恒定，产生矛盾。它当然也不是标准 Brownian 运动。若漏掉局部鞅条件，就会把这个简单反例误判。

另一个常见混淆是把跳过程的可预测补偿方差当成连续过程的二次变差。补偿 Poisson 鞅 $N_t-t$ 的可预测括号为 $t$，实际平方跳跃和却是 $N_t$；它不满足本页的连续性与实际二次变差条件。

复指数为什么是真鞅 ​

固定实数 $\theta$，令

对实部、虚部分别应用Itô 公式公理库Itô 公式Itô formula · Ito formula · Itô lemma为半鞅的光滑函数换元加入二次协变差与跳跃补偿项的随机链式法则。，利用 $(i\theta {)}^2=-{\theta }^2$ 和 $d[M{]}_t=dt$，有

因此 $Z$ 是复值局部鞅。关键是，在任意有限时间区间 $[0,T]$ 上，

对局部化后的真鞅等式使用控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。（控制量为确定常数），就能去掉停时，得到 $E(Z_t\mid {\mathcal{F}}_s)=Z_s$。这里不需要额外假定 $M$ 具有任意阶指数矩；复指数的模已经被确定常数控制。

从条件特征函数读出独立增量 ​

将上式除去时刻 $s$ 的非零因子，得到

右端是 $N(0,t-s)$ 的特征函数公理库特征函数（概率）Characteristic function of a distribution随机变量的复指数矩，也就是概率分布的 Fourier 变换。，而且不依赖任何过去信息。更明确地，对任意 $A\in {\mathcal{F}}_s$，

当 $P(A)>0$ 时，把等式除以 $P(A)$，特征函数唯一性说明增量在条件事件 $A$ 下仍服从 $N(0,t-s)$；$P(A)=0$ 时相应独立性等式自动成立。因此增量与 ${\mathcal{F}}_s$ 独立，且有上述正态分布。逐段应用即可得到所有不交区间的独立增量；加上原有的连续性和零起点，Brownian 定义的每一条都已核验。

若一个连续局部鞅的二次变差不是 $t$ 而是随机时钟，Dambis–Dubins–Schwarz 定理公理库Dambis–Dubins–Schwarz 时间变换Dambis-Dubins-Schwarz theorem · DDS theorem连续局部鞅以自身二次变差作为时钟，可表示成一条 Brownian 路径的随机时间变换。先把这只时钟调成单位速度，再使用本页刻画。这说明 Lévy 定理既是噪声识别工具，也是时间变换理论的核心。