Dambis–Dubins–Schwarz 时间变换

物理时间记录钟表走了多久，二次变差记录随机振荡累计了多少。过程若在某段时间波动较大，内部钟就走得快；若完全不积累波动，内部钟暂停。

定理把“路径的通用噪声形状”与“局部波动强度”分开。但它并没有把两者变成独立对象。随机时钟可以依赖同一条 Brownian 路径，知道时钟的值就可能透露路径已经发生了什么。

一个真的随机时钟 ​

取

其二次变差为

因此 $A_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$，定理给 $M_t=B_{A_t}$。路径远离零时钟走得更快，而 $A_t$ 不是确定函数。这里通常不能说“给定 $A_t$ 后，$M_t$ 就是方差 $A_t$ 的正态变量”，因为 $B$ 与 $A$ 没有独立保证。

这项限制可以用有界停时看得更直接。取 $T=inf\{t\ge 0:W_t=1\}\wedge 1$。在先到达事件 $\{T<1\}$ 上，停止值 $W_T=1$；若给定 $T$ 后总是 $N(0,T)$，在该事件上却仍会有取负值的正概率，矛盾。随机取样时刻会选择路径；时间变换等式本身不能抹去这种选择信息。

平台为何不能用普通反函数处理 ​

令 $h(t)=1$ 于 $[0,1)\cup (2,\mathrm{\infty })$，而 $h(t)=0$ 于 $[1,2]$，并取 $M_t={\int }_0^{t}h(s)d{W}_s$。此时

$A$ 在 $[1,2]$ 没有普通反函数。所选广义逆满足 ${\tau }_1=2$，把平台直接跳过。但 $M$ 在这一段也恒等于 $M_1$，所以 $B_u=M_{{\tau }_u}$ 没有跳跃。平台不是技术例外，而是时间重排中必须核验连续性的地方。

逆时钟为什么是停时 ​

$A$ 是适应、连续、不减过程。由

及滤过右连续性，$\{{\tau }_u\le t\}=\bigcap _{n\ge 1}\{{\tau }_u<t+1/n\}\in {\mathcal{F}}_t$，故 ${\tau }_u$ 是连续时间停时公理库停时Stopping time · 停止时刻是否已经发生可由当前信息判断、因而不依赖未来的随机时刻。。因此 ${\mathcal{F}}_{{\tau }_u}$ 是合法的停时信息，且随 $u$ 增大而增加。

由 $A$ 连续且最终无界，有 $A_{{\tau }_u}=u$。当 $A$ 存在平台时，$\tau$ 可以跳过整个平台。连续局部鞅在二次变差不增加的区间上必保持常值。可对每个确定有理时刻 $q$，停在 $A$ 首次超过 $A_q$ 的时刻：局部化后的增量平方均值为零，最大不等式排除该段中的非零振荡。合并这些可数零集，再从平台内部的有理点逼近端点，就同时覆盖所有可能的平台。于是时间变换后的 $B$ 仍连续。

用停止后的平方鞅识别新时钟 ​

固定内部上界 $b$，把 $M$ 停在 ${\tau }_b$。其累计二次变差不超过 $b$。先进一步停在有界取值区间，用平方鞅恒等式得到二阶矩至多 $b$；局部化极限的一致可积控制使 $M^{{\tau }_b}$ 成为真鞅，并保留 $\underset{t}{sup}E|M_{t\wedge {\tau }_b}{|}^2\le b$。连续时间最大界再给 $E\underset{t}{sup}|M_{t\wedge {\tau }_b}{|}^2\le 4b$，因此整个停止族具有一个平方可积的共同控制量。

先对 ${\tau }_u\wedge n,{\tau }_v\wedge n$ 使用连续时间鞅的有界可选采样公理库连续时间鞅Continuous-time martingale在连续时间滤过下适应且逐时可积，并满足任意早晚时刻条件均值恒等式的过程。，再由控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。令 $n\to \mathrm{\infty }$，便得到

对停止后的 $M^2-A$，共同控制量为 $\underset{t}{sup}|M_{t\wedge {\tau }_b}{|}^2+b$，仍可按同样方法采样，得到 $B_u^2-u$ 在 $[0,b]$ 上的鞅性质。连续局部鞅二次变差的唯一性便给

现在Lévy 刻画公理库Lévy 的 Brownian 刻画Lévy characterization theorem · Levy martingale characterization of Brownian motion连续局部鞅若以单位速度积累二次变差，就必定相对于原滤过具有独立的标准 Gaussian 增量。说明 $B$ 是 $\mathcal{G}$ 下的 Brownian 运动。

最后，${\tau }_{A_t}$ 等于 $t$，或位于包含 $t$ 的同一时钟平台末端。两种情况下 $M_{{\tau }_{A_t}}=M_t$，所以 $M_t=B_{A_t}$。这个回代步骤解释了为何广义逆虽然不逐点互为普通反函数，仍能准确恢复原鞅。

用随机时钟转移路径性质 ​

若另知道 $A_t\to \mathrm{\infty }$ 且 $A_t/t\to v>0$ 几乎处处，则将Brownian 重对数律公理库Brownian 重对数律Law of the iterated logarithm for Brownian motion · Brownian LIL同一条 Brownian 路径长期反复触及 sqrt(2t log log t) 的正负包络，尖锐常数都为一。沿连续无界的 $A_t$ 代回，可得

连续时钟遍历所有充分大的内部时间，才保证上极限不因漏掉关键时刻而变小。若再用 $A_t\sim vt$，可把分母改写为 $\sqrt{2vt\log \log t}$。路径定理因此自然按累计方差，而非机械按物理时间，迁移到一般连续局部鞅。