Brownian 重对数律

一次固定时刻的高斯尾概率很小，但无限次观察提供了无穷多个机会。要找到尖锐包络，需要平衡两件事：异常概率衰减多快，以及不同时间段能提供多少真正独立的新机会。

几何时间 $c^n$ 把这份平衡显露出来。此时 $\log \log \left(c^n\right)=\log (n\log c)$，Gaussian 尾概率变成关于 $n$ 的幂次。幂次大于一时可和，异常最终消失；略小于一时不可和，独立异常就会无穷多次发生。

固定时刻看起来趋零，整条路径却反复到一 ​

若只看每个确定的 $t$，则

其方差趋零，因此这个比值依概率趋零。但同一个比值沿路径的上极限为一、下极限为负一。两者没有矛盾：固定时刻碰到大偏差的概率越来越小，仍可能在随机挑出的无穷多个晚时刻碰到它。

反过来，$W_t/\sqrt{t}$ 沿路径的上极限为 $+\mathrm{\infty }$、下极限为 $-\mathrm{\infty }$。所以把“每一时刻均为标准正态”误读成“整条路径的标准化高度有界”，会漏掉长期重复观察的效果。

小时间尺度与 Hölder 端点 ​

已证的大时间上界给出 $W_s/s\to 0$ 几乎处处，所以时间反演 $V_t=t{W}_{1/t}$ 可在零处连续补为零。它是零均值 Gaussian 过程，$E(V_s{V}_t)=min(s,t)$，因而具有 Brownian 路径分布。把大时间结论用于 $V$，得到

因此 $|W_h|/\sqrt{h}$ 在零附近无界，路径不可能在零点满足 $1/2$-Hölder 界。这与Kolmogorov 判据公理库Kolmogorov 连续性定理Kolmogorov continuity theorem · Kolmogorov-Chentsov theorem增量矩随时间间距衰减得足够快，就能选出连续且具有指定 Hölder 指数的过程修改。给出的全部小于 $1/2$ 的指数精确接合。对任意一个预先指定的确定时刻，同样可平移后应用；要同时处理所有随机时刻，则需要另外的路径分析，不能直接把不可数个概率一事件相交。

上界：控制整段时间，不能只检查网格点 ​

固定 $\epsilon >0$，选 $1<c<(1+\epsilon {)}^2$，令 $t_n=c^n$。对标准正态变量公理库正态分布Normal distribution · Gaussian distribution · 高斯分布具有指数平方密度、在仿射变换与独立求和下封闭的概率分布族。 $Z$，将Markov 不等式公理库Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。用于 $e^{xZ}$，由 $E{e}^{xZ}=e^{x^2/2}$ 得 $P(Z>x)\le e^{-x^2/2}$（$x>0$）。再用反射原理，对充分大的 $n$，

指数大于一，级数可和。由Borel–Cantelli 第一引理公理库Borel–Cantelli 引理Borel–Cantelli lemmas由事件概率级数的收敛或在独立条件下的发散判断无限多事件发生概率。，这些整段最大值越界事件只发生有限次。对充分大的 $t\in [t_{n-1},t_n]$，$a(t)\ge a(t_{n-1})$，所以 $W_t/a(t)\le 1+\epsilon$。对 $-W$ 同样处理，再沿可数个 $\epsilon \downarrow 0$ 取交，得到上下两侧的最终界。

下界：用独立增量制造反复发生的机会 ​

现在固定 $0<\epsilon <1$，改选足够大的 $c$。令

这些事件取决于不相交增量，因而独立。增量方差是 $(1-1/c)t_n$。正态密度在 $[x,x+1/x]$ 上积分给出 $P(Z>x)\ge x^{-1}\phi (x+1/x)\ge C{x}^{-1}{e}^{-x^2/2}$（$x\ge 1$），其中 $C>0$ 为固定常数。这个下界给

取 $c$ 足够大可使 $p<1$，于是概率和发散。Borel–Cantelli 第二引理保证 $E_n$ 无穷多次发生。

还要避免前一时刻的负值抵消这次上跳。已证上界用于 $-W$，给出最终的 $W_{t_{n-1}}\ge -2a(t_{n-1})$，而

进一步放大 $c$，使最终的 $2a(t_{n-1})/a(t_n)<\epsilon /2$。在无穷多个 $E_n$ 上便有 $W_{t_n}\ge (1-\epsilon )a(t_n)$。对 $-W$ 重复并让 $\epsilon \downarrow 0$，得出两个尖锐常数。

这个证明同时说明为什么长期包络不是普通尾界的另一种写法：上界用可和概率，下界必须利用独立性与发散概率和。