Donsker 不变性原理

每秒挤入 $n$ 步，单步幅度除以 $\sqrt{n}$，使单位时间方差保持一。不同的有限方差步长分布，在这种观察尺度下共享同一种连续噪声极限，因此称“不变性”。

证明要同时回答两个问题。有限多个时刻的数值是否趋向正确的联合正态分布？网格之间是否可能藏着很高、很窄的尖峰？第一问由中心极限定理处理；第二问需要控制路径振荡。仅回答第一问不足以得到整条路径的极限。

最高点和累计面积一起得到极限 ​

取对称的 $\pm 1$ 步长，$\sigma =1$。折线最高点位于某个网格顶点，所以

由 Brownian 反射原理，右边对 $x\ge 0$ 的分布函数为 $2\mathrm{\Phi }(x)-1$，对 $x<0$ 为零。对大 $n$，最高点超过 $2\sqrt{n}$ 的概率因而接近 $2[1-\mathrm{\Phi }(2)]\approx 0.0455$。单独对 $S_n$ 用中心极限定理只会得到约一半的概率，因为路径可能先越界再返回。

另一方面，梯形面积恰好是

方差来自 ${\int }_0^1{\int }_0^{1}min(s,t)dsdt=1/3$。取最大值与积分都是一致范数下的连续映射，所以可直接用连续映射定理公理库连续映射定理Continuous mapping theorem · Mann–Wald theorem当可测映射的不连续点不承载极限概率时，沿它推前保留弱收敛；阈值映射说明边界质量为何决定成败。。

两种不能省略的条件 ​

未插值的阶梯路径不属于 $C[0,1]$；它需要改在适当的右连续路径空间陈述。插值明确了本页的空间和拓扑。

无限方差步长也不在本定理范围内。例如 Cauchy 步长的和以 $n$ 而不是 $\sqrt{n}$ 缩放才保持同分布，极限不会是标准 Brownian 运动。有限方差是结论的一部分，不是为了简化证明才随便加上的条件。

从有限维收敛到路径紧性 ​

先看有界的中心化步长。对若干固定时刻，把和拆成不相交的增量块，逐块使用中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。。独立性保留下来，极限协方差为 $min(s,t)$；插值的单步误差趋零，因此得到 Brownian 的有限维分布。

有界步长具有四阶矩。若 $h=|t-s|\ge 1/n$，独立中心化和的四阶矩展开包含单项四阶矩及成对方差项，归一化后给出

若 $h<1/n$，区间最多穿过两条网格边，插值系数总和为 $nh$；四阶矩可界为 $C{n}^2{h}^4\le C{h}^2$。常数与 $n,s,t$ 无关。

将Kolmogorov 连续性判据公理库Kolmogorov 连续性定理Kolmogorov continuity theorem · Kolmogorov-Chentsov theorem增量矩随时间间距衰减得足够快，就能选出连续且具有指定 Hölder 指数的过程修改。的二进网格估计用于整族 $X_n$，可得对每个 $\epsilon >0$，

结合 $X_n(0)=0$，为一列递减的模连续性阈值分配可求和的失败概率，再用 Arzelà–Ascoli 判据，便得到以任意高概率容纳全族的紧集。路径分布因此形成紧族公理库测度族的紧性Tight family of measures · Tightness of probability measures · 一致紧性要求一个概率测度族的全部成员都能把任意接近一的质量统一装进同一个紧集。。$C[0,1]$ 在一致范数下完备，且有理折线构成可数稠密集，故可用Prokhorov 定理公理库Prokhorov 定理Prokhorov theorem · Prokhorov's theorem · 普罗霍罗夫定理在 Polish 空间上把概率测度族的一致紧性等价为弱拓扑中的相对紧性。从任意子列抽出弱收敛子列；其有限维分布已经唯一确定为 Brownian，因此所有子列只有同一个可能极限。

去掉额外的四阶矩要求 ​

原定理只有二阶矩。令

残差仍独立、中心化，且 $v_K=E[(r_1^{(K)}{)}^2]\le E[{\xi }_1^2{\mathbf{1}}_{|{\xi }_1|>K}]\to 0$；最后一步由可积的 ${\xi }_1^2$ 支配，应用控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。。令 $X_n^{(K)}$ 使用截断步长，但仍除以原来的 $\sigma \sqrt{n}$。折线差的最大绝对值在网格顶点取得，由Doob 最大不等式公理库Doob 最大不等式Doob maximal inequality · Doob Lp inequality用非负下鞅的终点尾部期望或鞅的终点 p 阶矩控制整个有限时间区间的最大值。，

此界对全部 $n$ 一致。固定 $K$，已证明 $X_n^{(K)}\Rightarrow ({\sigma }_K/\sigma )W$，其中 ${\sigma }_K^2=\mathrm{Var}({\xi }_1^{(K)})\to {\sigma }^2$。若某个 ${\sigma }_K=0$，该中心化截断步长几乎处处为零，相应结论直接成立。

对任意有界 Lipschitz 泛函，先把原路径换为截断路径，误差由上面的概率界和 $\eta$ 控制；再令 $n\to \mathrm{\infty }$、$K\to \mathrm{\infty }$、$\eta \downarrow 0$。这便将有界步长的结论传回全部有限方差步长。截断不是改变了定理的假设，而是构造了一族可统一控制误差的中间问题。