Brownian 桥

Brownian 运动每一步都可以自由加入新噪声。桥还负有一项终点约束：前半段偏离得多，后半段就必须有相应回调。这个全程约束带来不同时段增量之间的负相关。

公式减去 $t{W}_T/T$，不是把整条路径平移同一个高度。它减去一条从零逐渐长到终点偏差的斜线，使起点不动、终点精确归零。每个时刻都共享同一个终点修正，因此不能保留独立增量。

中点不是自由 Brownian 终点 ​

取 $T=1$。在 $t=1/2$，桥的方差是

而自由 Brownian 运动同一时刻的方差是 $1/2$。更靠近固定端点，剩余不确定性更小；一般有 $\mathrm{Var}(B_t)=t(1-t)$，在中点最大，两个端点为零。

现在看相邻的两个增量 $I_1=B_{1/2}-B_{1/4}$、$I_2=B_{3/4}-B_{1/2}$。Brownian 原增量不相关，但终点约束使

因此相关系数为 $-1/3$。前一段向上走，会减少下一段继续向上走的自由度。更一般地，两段不相交时间区间的长度为 ${\ell }_1,{\ell }_2$ 时，增量协方差为 $-{\ell }_1{\ell }_2/T$。

条件事件概率为零，也能有条件分布 ​

$P(W_T=b)=0$，所以不能把普通事件条件概率的分子分母直接代入。正确对象是正则条件分布公理库条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。：把终点取值作为参数，给出路径的条件概率核。

桥给出的核是

这里路径取值于 Polish 空间 $C[0,T]$，终点取值于 $\mathbb{R}$；右端作为 $b$ 的函数给出一个弱连续的 Gaussian 条件核。这是对条件分布的这一指定版本的描述，不是“从所有模拟路径里筛出终点恰好等于 $b$”。后者在精确连续模型中几乎肯定筛不到任何一条。

用正交分解推导协方差与条件律 ​

利用 $E(W_s{W}_t)=min(s,t)$，逐项展开协方差公理库协方差Covariance两个随机变量中心化乘积的期望，衡量线性共同变化。：

同时 $\mathrm{Cov}(B_t,W_T)=t-(t/T)T=0$。对任意有限组时刻，$(B_{t_1},\dots ,B_{t_k},W_T)$ 联合 Gaussian，零交叉协方差便推出桥向量与终点独立。由连续路径及有理时刻生成的路径信息，整个桥都与 $W_T$ 独立。

于是

是真正的独立分解：一部分是终点不能解释的剩余波动，另一部分完全由终点决定。给定 $W_T=b$，只须把第二部分代成确定直线。这也证明了前面的条件律。

桥面积的方差 ​

设 $A={\int }_0^T{B}_{t}dt$。Riemann 和是 Gaussian 变量，均方连续的协方差核保证它们在均方中收敛；由高斯过程的均方极限封闭性公理库高斯过程Gaussian process · Gaussian random process任意有限组坐标都服从联合高斯分布、因而由均值函数与半正定协方差核确定其有限维分布的随机过程。，$A$ 仍为零均值 Gaussian 变量。又因 $E|B_s{B}_t|\le \sqrt{E{B}_s^{2}E{B}_t^2}\le T/4$，概率与两个有限时间区间上的乘积积分绝对可积，Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。允许对协方差积分：

对从 $a$ 到 $b$ 的桥，面积均值相应为 $T(a+b)/2$，方差不变。这个例子展示：终点约束不仅影响某个时刻，也改变整条轨迹的积分统计量。

在统计检验中，经验分布函数减去总体分布后的波动也会出现桥：总概率在右端必须等于一，中心化误差在那里被钉为零。Kolmogorov–Smirnov 检验公理库Kolmogorov–Smirnov 检验Kolmogorov-Smirnov test · KS test以经验分布和预先指定连续分布之间的最大垂直距离检验拟合，并区分精确均匀校准、有限样本保证与 Brownian 桥近似。利用这种端点约束下的整体偏差。