Cramér–von Mises 检验

形式陈述

最大一处偏差之外，能否把各处持续的小偏差也积累起来？Cramér–von Mises 检验考虑 $n\ge1$ 个实值独立同分布样本 $X_1,\ldots,X_n$ ，对事先完全指定的连续分布 $F_0$ 检验 $H_0:F=F_0$ 。记经验分布函数为 $F_n$ ，统计量为

W_n^2=n\int_{\mathbb R}[F_n(x)-F_0(x)]^2\,dF_0(x).

这里的积分按概率测度 $dF_0$ 加权，不是无权的 $dx$ 积分。 $W_n^2$ 大时拒绝原假设，临界值依据它在 $H_0$ 下的分布确定；这构成一个拟合优度检验。

令 $u_i=F_0(X_{(i)})$ ，其中 $X_{(i)}$ 为排序后的观测。连续原假设下有精确公式

W_n^2=\frac1{12n} +\sum_{i=1}^n\left(u_i-\frac{2i-1}{2n}\right)^2.

有的资料把未乘 $n$ 的积分记为 $\omega_n^2$ ，有的把本页统计量记为 $T$ 。比较数值或临界表之前应先检查归一化。

直觉

把横轴变成 $u=F_0(x)$ ，参考分布就是对角线，样本变成概率坐标上的点。统计量把整条阶梯相对对角线的垂直误差先平方，再沿整个概率区间累积。

平方防止正负误差互相抵消，也让较大的缝隙更受重视。与只保留最宽缝隙的 KS 检验相比，Cramér–von Mises 还会对一大片区域里同向、持续的偏差作出反应。两者没有一个对所有备择分布都更好。

有序值公式中的 $(2i-1)/(2n)$ 是第 $i$ 个等概率小格的中点。每个 $u_i$ 偏离这个中点的程度，合起来正好等于整条曲线的平方积分，再加上不可消去的阶梯误差 $1/(12n)$ 。

例子与边界

同一组五个均匀概率坐标

取 $u=(0.08,0.26,0.49,0.72,0.95)$ 。五个小格中点为 $0.1,0.3,0.5,0.7,0.9$ ，差值为

-0.02,\ -0.04,\ -0.01,\ 0.02,\ 0.05.

平方和是 $0.005$ ，所以

W_5^2=\frac1{60}+0.005=\frac{13}{600}\approx0.021667.

这是统计量，不是 $p$ 值。必须与五个独立均匀点产生的同一统计量的原假设分布比较，才能判断它是否异常。

两种距离会给出相反排序

比较两组概率坐标

A=(0.10,0.30,0.50,0.70,0.99),\qquad B=(0.16,0.36,0.56,0.76,0.96).

$A$ 只有最后一点明显偏离格子中心， $B$ 的每一点都向右偏移 $0.06$ 。直接计算，

D(A)=0.19>D(B)=0.16,

但

W^2(A)=\frac1{60}+0.09^2\approx0.024767 <\frac1{60}+5(0.06)^2\approx0.034667=W^2(B).

因此“哪个样本更不吻合”依赖所选距离强调什么，不能只看一个最大偏差就推断所有拟合优度统计量的排序。

两组均匀概率坐标的经验阶梯，一组末端偏差较大，另一组多处偏差累积，KS 与平方积分给出相反排序

完全指定与拟合后检验

若 $F_0$ 的参数使用同一批样本估计，公式仍能算出某个距离，但标准的分布无关校准不再自动适用。模拟校准必须包含同样的估计步骤。若总体离散，概率坐标也不再均匀，且并列点结构影响原假设分布。

此外，按 $dF_0$ 积分意味着极端尾部的一小段概率质量只占很小权重。它不是专门强调尾部相对误差的统计量；若科学问题只关注罕见尾部，应在分析前选择相应统计量和校准方式，而不是看过结果后挑最显著的一种。

推论与应用

从阶梯积分推导有序值公式

在均匀概率坐标上令 $u_0=0,u_{n+1}=1$ ，经验分布 $G_n(u)=i/n$ 位于区间 $[u_i,u_{i+1})$ 。于是

I:=\int_0^1[G_n(u)-u]^2\,du =\sum_{i=0}^n\int_{u_i}^{u_{i+1}}\left(\frac in-u\right)^2\,du.

将平方展开，积分 $u^2$ 的部分为 $1/3$ ，其余两项逐段相消，得到

\int_0^1G_n(u)^2\,du =1-\sum_{i=1}^n\frac{2i-1}{n^2}u_i,

2\int_0^1uG_n(u)\,du =1-\frac1n\sum_{i=1}^nu_i^2.

因此

nI=\frac n3+\sum_i u_i^2 -\sum_i\frac{2i-1}{n}u_i.

对每个 $u_i$ 完成平方，再用

\sum_{i=1}^n\left(\frac{2i-1}{2n}\right)^2 =\frac n3-\frac1{12n},

即得所述公式。若所有 $u_i$ 恰为格子中点，统计量仍有 $1/(12n)$ ；有限阶梯无法处处等于连续对角线。

精确均值与桥极限

原假设下，固定 $u$ 时 $nG_n(u)$ 是参数 $(n,u)$ 的二项计数。平方误差非负且对样本与 $u$ 联合可测，由Tonelli 定理交换期望与积分，得到

E_0W_n^2 =n\int_0^1 E[G_n(u)-u]^2\,du =\int_0^1u(1-u)\,du=\frac16.

这一均值对每个 $n\ge1$ 都精确成立，不是渐近公式。它也提醒我们：前面例子的 $0.021667$ 很小，但不能由“比均值小”反推出精确 $p$ 值。

KS 页利用指数间距与随机游走证明了经验过程的连续桥近似。对同一近似应用平方积分这一连续泛函，得到

W_n^2\Rightarrow\int_0^1B(u)^2\,du,

其中 $B$ 为标准 Brownian 桥。若连续函数一致收敛，则它们一致有界，平方积分之差由最大差乘以两者最大绝对值之和控制，所以这里取极限合法。极限记录整条桥的平方能量，不是单个正态变量的平方，也不能随手指定一个有限卡方自由度。

怎样做有限样本校准

因为原假设的 $u_i$ 是均匀样本的有序值，精确分布只依赖 $n$ 。可使用该有限样本分布的数值算法，也可预先规定模拟程序生成均匀样本、每次重新排序并计算同一统计量。实际报告应说明采用精确数值分布、有限模拟还是大样本极限；三者的误差来源不同。

参考资料

SciPy 官方文档，《cramervonmises》，统计量公式、简单原假设条件及估计参数后的校准警告。
James W. Pitman，记录 Tianbing Chen，《Brownian Bridge》，Stat 205B Lecture 22，经验分布过程的桥极限与指数间距表示。

形式陈述 ​

同一组五个均匀概率坐标 ​

两种距离会给出相反排序 ​

完全指定与拟合后检验 ​

从阶梯积分推导有序值公式 ​

精确均值与桥极限 ​

怎样做有限样本校准 ​

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