Wilcoxon–Mann–Whitney 秩和检验

形式陈述

两组独立样本是否来自同一总体？设 $m,n\ge1$ ， $X_1,\ldots,X_m$ 独立同分布于连续分布 $F$ ， $Y_1,\ldots,Y_n$ 独立同分布于连续分布 $G$ ，且两组相互独立。Wilcoxon–Mann–Whitney 检验的基本原假设是

H_0:F=G.

本页采用“ $Y$ 胜过 $X$ ”的计数约定：

U=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\mathbf1_{\{X_i<Y_j\}}.

将 $N=m+n$ 个观测合并，按从小到大排序赋秩 $1,\ldots,N$ 。若 $R_Y$ 是 $Y$ 组秩和，则

U=R_Y-\frac{n(n+1)}2.

原假设下，给定合并后的有序值， $\binom Nn$ 种 $Y$ 标签位置等可能；这正是一个标签置换检验。预先规定单侧或双侧的极端方向后，可以枚举这些位置得到精确 $p$ 值。

在无并列的共同连续分布下，

E_0U=\frac{mn}{2},\qquad \operatorname{Var}_0(U)=\frac{mn(m+n+1)}{12}.

本页双侧检验以 $|U-mn/2|$ 为极端程度；对离散统计量，双侧规则应明确写出。

直觉

把一个 $X$ 与一个 $Y$ 放在一起比较，若 $Y$ 较大，就给它一分。 $mn$ 场比较的总分反映两组数值的相对位置。它只依赖次序，不会让一个极端大的观测凭数值大小获得无限权重。

共同分布假设下，组标签不应能从合并后的数值位置中辨认出来。因此保持数值不动、重新分配标签，就能构造“原假设为真时本来可能看到什么”。这里交换的是独立两组的标签，配对数据则应保留每一对的关系：Wilcoxon 符号秩检验在差值独立对称的假设下翻转差值符号，使用的是另一种参考机制。

秩和与胜出次数是同一信息的两种记账方式。用秩和方便计算，用成对胜出率方便理解效应；但检验的原假设与效应量的某个数值仍须区分。

例子与边界

六个观测的精确枚举

取 $X=(1,2,4)$ 、 $Y=(3,5,6)$ 。三个 $Y$ 分别胜过 $2,3,3$ 个 $X$ ，所以 $U=8$ 。 $Y$ 的合并秩为 $3,5,6$ ，秩和 $14$ ，也给出 $U=14-6=8$ 。

原假设下共有 $\binom63=20$ 种标签分配。 $U=0,1,\ldots,9$ 的分配数依次是

1,1,2,3,3,3,3,2,1,1.

预先指定的“ $Y$ 倾向更大”单侧 $p$ 值为 $P_0(U\ge8)=2/20=0.10$ 。双侧距离规则给出

P_0(|U-4.5|\ge3.5)=\frac4{20}=0.20.

样本胜出率 $8/9$ 很高，但只有三对三的独立观测，原假设下仍不算很罕见。九场比较共享六个观测，不能当成九次独立 Bernoulli 试验。

相同中位数仍可产生不同胜出率

令 $X$ 为 $(-1,1)$ 上均匀分布。令 $Y$ 以一半概率均匀落在 $(-2,0)$ ，另一半概率均匀落在 $(0,1/2)$ 。两者都连续且唯一中位数为零，但

P(X<Y)=\frac14+\frac1{16}+\frac1{16}=\frac38.

第一项来自 $X<0<Y$ ，后两项来自两者都负或都正。因此秩和差异不能一般地解释成中位数差异。只有在共同形状的位置平移模型等额外条件下，才可把位置方向对应到中位数平移。

反过来， $P(X<Y)=1/2$ 也不强迫 $F=G$ ，例如两个都关于零对称但尺度不同的连续分布。共同分布下的方差和置换校准，不能不加修改就用于更弱的“胜出率等于一半”原假设。

并列值与相关数据

若数据有并列，可给相同数值平均秩，并把比较定义为胜出一分、打平半分：

U^*=\sum_{i,j}\left(\mathbf1_{\{X_i<Y_j\}}+\frac12\mathbf1_{\{X_i=Y_j\}}\right).

在共同总体且观测独立的原假设下，条件标签置换仍然有效；只是精确分布依赖实际并列结构，不能照搬无并列的表。若数据来自重复测量、家庭簇或配对设计，任意标签交换通常不再合法，必须保留设计允许的交换结构。

推论与应用

秩和为什么等于胜出次数加常数

把 $Y$ 组内部也排序。第 $j$ 小的 $Y$ 在合并样本中的秩，等于排在它前面的 $X$ 个数加上 $j$ 。对 $j=1,\ldots,n$ 求和，内部秩合计为 $n(n+1)/2$ ，其余正好是所有 $X<Y$ 比较的个数。使用平均秩后，同一个恒等式对半分处理的 $U^*$ 仍成立。

共享观测怎样产生方差

令 $I_{ij}=\mathbf1_{\{X_i<Y_j\}}$ 。共同连续分布下，每个指标的期望为 $1/2$ ，方差为 $1/4$ 。不共享观测的两个指标独立；共享同一个 $X$ 时，两个 $Y$ 都超过它的概率为 $1/3$ ，因为三个同分布观测中 $X$ 最小的概率为 $1/3$ 。所以协方差为 $1/3-1/4=1/12$ 。共享同一个 $Y$ 时同理。

方差展开中，共享 $X$ 的有序指标对有 $mn(n-1)$ 个，共享 $Y$ 的有 $nm(m-1)$ 个。因此

\operatorname{Var}_0(U) =\frac{mn}4+\frac{mn(n-1)+nm(m-1)}{12} =\frac{mn(N+1)}{12}.

漏掉这些协方差，会严重低估不确定性。

并列修正与可报告的效应

若合并数据各并列组大小为 $t_a$ ，则条件置换方差为

\operatorname{Var}_0(U^*\mid\text{合并数据}) =\frac{mn}{12}\left[N+1- \frac{\sum_a(t_a^3-t_a)}{N(N-1)}\right].

其来源是平均秩降低了有限总体的秩平方和：每个长度 $t$ 的连续秩块被平均后，中心化平方和减少 $(t^3-t)/12$ 。再使用从 $N$ 个固定秩中无放回抽 $n$ 个的方差，即得该式。小样本时仍优先按实际秩枚举，而不是只靠方差作正态近似。

不论 $F$ 是否等于 $G$ ，线性期望都给出 $E[U/(mn)]=P(X<Y)$ ；带并列时对应 $P(X<Y)+P(X=Y)/2$ 。这个效应量可以与检验结果一起报告，并明确方向为“ $Y$ 大于 $X$ ”。有的软件报告相反方向的 $U$ ，两者在无并列时相加为 $mn$ ，比较结果前应先核对约定。

参考资料

Philip B. Stark, Stat 240 Notes, Chapter 4，The Wilcoxon rank-sum test、Mann-Whitney Statistics、Tied observations 三节。
Olive Jean Dunn, 《Multiple Comparisons Using Rank Sums》，§§5–6，合并秩的方差、协方差与并列修正。

形式陈述 ​

六个观测的精确枚举 ​

相同中位数仍可产生不同胜出率 ​

并列值与相关数据 ​

秩和为什么等于胜出次数加常数 ​

共享观测怎样产生方差 ​

并列修正与可报告的效应 ​

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