Kolmogorov 连续性定理

把时间轴切成 $2^n$ 个小格。每一格发生大增量的概率虽小，却要乘上格子的数量，才能控制“至少一格出事”。矩条件中的额外幂 $\beta >0$ 正是支付这笔数量成本后剩下的余量。

网格上的控制还不够。需要把任意两个时间点用越来越细的网格串起来，每一层贡献一个更小的误差。几何级数可和，就把可数网格的概率结论转成不可数时间集合上的路径结论。

为什么四阶矩比二阶矩有用 ​

对Brownian 运动公理库Brownian 运动Brownian motion · Wiener process · 布朗运动 · Wiener 过程从零出发、具有独立平稳高斯增量与几乎处处连续路径的连续时间随机过程。，增量是方差 $|t-s|$ 的正态变量，所以

若只用二阶矩，右侧是 $|t-s|$，没有正的 $\beta$，本定理给不出连续性。用四阶矩，$\alpha =4,\beta =1$，先得到每个 $\gamma <1/4$ 的连续修改。进一步对任意整数 $m\ge 2$，可取

对可数多个 $m$ 合并零集，并利用连续修改之间的不可分辨性，可选同一个版本满足全部 $\gamma <1/2$。端点 $1/2$ 仍未包含；Brownian 重对数律公理库Brownian 重对数律Law of the iterated logarithm for Brownian motion · Brownian LIL同一条 Brownian 路径长期反复触及 sqrt(2t log log t) 的正负包络，尖锐常数都为一。会说明它为何确实失败。

逐时刻相同，路径仍可能不同 ​

令 $U$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布，取 $X_t={\mathbf{1}}_{\{t=U\}}$。对每个固定 $t$，$X_t=0$ 几乎处处；对任意固定 $s,t$，增量的所有正阶矩都是零。因此矩条件以任意正指数成立。

但每条原始路径都在随机位置 $U$ 有一个尖点，绝不连续。定理提供的是连续修改 ${\tilde{X}}_t\equiv 0$，并未宣布原始路径连续。不可数多个零概率事件的并集不一定是零概率，这正是两种陈述的差别。

二进网格证明 ​

通过时间缩放只须讨论 $T=1$。记

对每一条网格边使用Markov 不等式公理库Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。，再对 $2^n$ 条边用并集界公理库并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。，得到

当 $\gamma <\beta /\alpha$ 时，这些概率可和。由Borel–Cantelli 引理公理库Borel–Cantelli 引理Borel–Cantelli lemmas由事件概率级数的收敛或在独立条件下的发散判断无限多事件发生概率。，几乎处处只有有限多个坏层级；把这些有限层级上的增量也吸收到随机常数 $K$ 中，全部网格边都满足 $K{2}^{-n\gamma }$ 的界。

取两个二进有理点，令它们的距离介于 $2^{-m-1}$ 与 $2^{-m}$ 之间。各自投影到第 $m$ 层网格，再逐层细化到原点：每层至多走固定数量的相邻边。因此

于是定义在稠密集合 $D=\bigcup _n{D}_n$ 上的路径具有一致连续性公理库一致连续Uniform continuity同一 δ 对定义域中所有点同时控制给定 ε。，利用目标空间 $\mathbb{R}$ 完备，按一致连续映射的稠密域延拓定理，唯一延伸为整个区间上的连续函数。这里先只处理可数集合，避免了同时对不可数个事件选取零集的错误。

最后验证延伸确实是原过程的修改。对固定 $t$，选 $t_n\in D$ 趋向 $t$。矩条件使 $X_{t_n}\to X_t$ 依概率，而构造使 $X_{t_n}\to {\tilde{X}}_t$ 几乎处处。依概率极限的唯一性公理库依概率收敛Convergence in probability随机变量偏离极限超过任意正阈值的概率趋于零。于是给出 $X_t={\tilde{X}}_t$ 几乎处处。对一列 ${\gamma }_j\uparrow \beta /\alpha$ 重复网格估计，连续修改在共同零集外相等，故可选同一个版本满足所有较小的 Hölder 指数。

参数维数为何会出现 ​

若参数是 $d$ 维盒子，网格边的数量与 $2^{nd}$ 同阶，相应条件变为 $E|X_t-X_s{|}^{\alpha }\le C|t-s{|}^{d+\beta }$。同一个计数与级数机制仍给 $\gamma <\beta /\alpha$。一维公式里的 $1$ 因而不是任意常数，而是参数集合的维数成本。