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从随机游走到固定端点与反射扩散：单元验收题及解答 ​

任务：把路径变换与随机微积分接起来 ​

本路线先用 Kolmogorov 判据与 Donsker 原理进入连续路径，再分成两条支线：桥与重对数律描述路径分布；Lévy、DDS、局部时间、反射与凸函数公式解释路径如何变换。平方 Bessel 过程把这些工具落在一个非负扩散模型上。

设 ${\xi }_j$ 是独立的对称 $\pm 1$ 步长，$S_k=\sum _{j=1}^k{\xi }_j$，$X_n$ 是顶点 $X_n(k/n)=S_k/\sqrt{n}$ 之间的线性插值。另设 $W$ 为标准 Brownian 运动。

1. 对 $X_n$ 作去终点变换 $D(x)(t)=x(t)-tx(1)$，求整条路径极限，以及面积 ${\int }_0^{1}D(X_n)(t)dt$ 的极限分布。说明这与“条件于 $S_n=0$”有什么区别。
2. 对 $X_n$ 作半直线反射，求反射终点的极限分布。对极限反射过程 $Y=W+K$，证明 $Z=Y^2$ 是维数一的平方 Bessel 过程，写出 $Z_1$ 的 Laplace 变换和前两阶矩。
3. 对 $M_t={\int }_0^{t}h(s)d{W}_s$，其中 $h=0$ 于 $[1,2]$、其余时间为一，写出全部内部时钟与广义逆，核验平台端点。再求 $M$ 的长期重对数包络。若改成 $h(s)=\sqrt{1+W_s^2}$，能否把随机时钟换成它的期望？
4. 令 $f(x)=x^2+|x-1|+2(x-2{)}^{+}$。用局部时间求 $Ef(W_1)$，再直接用正态积分独立复核，逐项解释二倍系数。

解答一：去终点的随机游走趋向桥 ​

Donsker 原理公理库Donsker 不变性原理Donsker invariance principle · Functional central limit theorem for random walks有限方差的中心化独立同分布随机游走，经时间和空间缩放后，整条折线路径弱收敛到 Brownian 运动。给 $X_n\Rightarrow W$ 于一致范数下的 $C[0,1]$。这里矩控制不仅识别有限维极限，还排除了网格间的尖峰。对有界步长，统一四阶矩界 $E|X_n(t)-X_n(s){|}^4\le C|t-s{|}^2$ 经二进网格估计公理库Kolmogorov 连续性定理Kolmogorov continuity theorem · Kolmogorov-Chentsov theorem增量矩随时间间距衰减得足够快，就能选出连续且具有指定 Hölder 指数的过程修改。给出路径紧性；只对终点用普通中心极限定理不够。

对任意 $x,z$，

$$\Vert D(x)-D(z){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert x-z{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+|x(1)-z(1)|\le 2\Vert x-z{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$

因此 $D$ 连续，连续映射定理给

$$D(X_n)\Rightarrow B,B_t=W_t-t{W}_1.$$

这就是标准Brownian 桥公理库Brownian 桥Brownian bridge · Pinned Brownian motion将 Brownian 运动的终点钉住后，剩余波动是协方差为 min(s,t)−st/T 的连续 Gaussian 桥。。积分也是连续路径泛函，故

$${\int }_0^{1}D(X_n)(t)dt\Rightarrow {\int }_0^1{B}_{t}dt\sim N(0,1/12).$$

其方差直接由协方差核积分得

$${\int }_0^1{\int }_0^1[min(s,t)-st]dsdt=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.$$

离散面积还可写得完全明确：

$${\int }_0^{1}D(X_n)(t)dt=\frac{1}{n\sqrt{n}}(\sum _{k=1}^{n-1}{S}_k+\frac{1}{2}{S}_n)-\frac{S_n}{2\sqrt{n}}.$$

这对每条样本路径都做了一个确定变换，没有筛选样本。条件分布 $\mathcal{L}(X_n\mid S_n=0)$ 则是另一个问题：奇数 $n$ 时事件不可能，偶数时也需要额外的条件极限定理。连续映射定理本身不能把条件问题自动解决，虽然二者在合适条件下会出现同一种桥极限。

解答二：反射、绝对值分布与平方 Bessel ​

记反射映射

$$R(x)(t)=x(t)+max(0,-\underset{s\le t}{inf}x(s)).$$

Skorokhod 反射问题公理库Skorokhod 反射问题Skorokhod reflection problem · Skorokhod map on the half-line给连续输入加上仅在边界需要时增长的最小非减调节量，唯一地把整条路径保持在非负半轴。已经给出其唯一性与 $2$-Lipschitz 界，所以

$$R(X_n)\Rightarrow Y=R(W).$$

终点评价连续，$R(X_n)(1)\Rightarrow Y_1$。反射 Brownian 运动的全过程与标准 Brownian 运动的绝对值 $|W|$ 同分布，所以对 $y\ge 0$，

$$P(Y_1\le y)=2\mathrm{\Phi }(y)-1.$$

例如终点超过二的渐近概率为 $2[1-\mathrm{\Phi }(2)]\approx 0.0455$。这是反射后的终点分布，不是声称 $W_1-\underset{s\le 1}{min}{W}_s$ 在每一条样本上都等于 $|W_1|$。

接下来令 $Z_t=Y_t^2$。由 $Y=W+K$、$K$ 连续有限变差、$[Y{]}_t=t$，Itô 公式给

$$d{Z}_t=2Y_{t}d{W}_t+2Y_{t}d{K}_t+dt.$$

调节量只在 $Y=0$ 时增长，故 $Y_{t}d{K}_t=0$。又因为 $Y_t\ge 0$，$Y_t=\sqrt{Z_t}$，于是

$$d{Z}_t=dt+2\sqrt{Z_t}d{W}_t,Z_0=0.$$

这正是维数一的平方 Bessel 过程公理库平方 Bessel 过程Squared Bessel process · BESQ process平方 Bessel 过程把多维 Brownian 半径平方推广到任意非负维数，并由维数决定是否触及或停留在零边界。。从 $Y_1\stackrel{d}{=}|N(0,1)|$ 可知 $Z_1\sim {\chi }_1^2$，所以

$$E{e}^{-\lambda Z_1}=(1+2\lambda {)}^{-1/2},E{Z}_1=1,\mathrm{Var}(Z_1)=2,E{Z}_1^2=3.$$

从反射机制与从 Gaussian 平方得到的分布完全一致。此处零边界会被触及，但没有吸收；平方变换把边界推力项消去，保留在维数一的漂移中。

解答三：平台时钟与长期包络 ​

$M$ 的二次变差为

$$A_t={\int }_0^{t}h(s{)}^{2}ds=\{\begin{array}{ll}t,& 0\le t\le 1,\\ 1,& 1\le t\le 2,\\ t-1,& t\ge 2.\end{array}$$

选择 ${\tau }_u=inf\{t:A_t>u\}$，得到

$${\tau }_u=\{\begin{array}{ll}u,& 0\le u<1,\\ u+1,& u\ge 1.\end{array}$$

注意严格超过水平的集合未必包含它的下确界：${\tau }_1=2$，但 $A_2=1$。这不矛盾，$A$ 连续保证 $A_{{\tau }_u}=u$。

由于 $M$ 在 $[1,2]$ 恒定，广义逆的跳跃没有造成 $B_u=M_{{\tau }_u}$ 的跳跃。DDS 时间变换公理库Dambis–Dubins–Schwarz 时间变换Dambis-Dubins-Schwarz theorem · DDS theorem连续局部鞅以自身二次变差作为时钟，可表示成一条 Brownian 路径的随机时间变换。给 $[B{]}_u=u$；Lévy 刻画公理库Lévy 的 Brownian 刻画Lévy characterization theorem · Levy martingale characterization of Brownian motion连续局部鞅若以单位速度积累二次变差，就必定相对于原滤过具有独立的标准 Gaussian 增量。于是确认 $B$ 在停时滤过下是 Brownian 运动，并且 $M_t=B_{A_t}$。

$A_t=t-1$ 对 $t\ge 2$ 成立。因此由Brownian 重对数律公理库Brownian 重对数律Law of the iterated logarithm for Brownian motion · Brownian LIL同一条 Brownian 路径长期反复触及 sqrt(2t log log t) 的正负包络，尖锐常数都为一。，

$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{M_t}{\sqrt{2t\log \log t}}=1,\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\frac{M_t}{\sqrt{2t\log \log t}}=-1.$$

有限长度的平台只改变有限的时钟偏移，不改变长期归一化常数。

若改成 $h(s)=\sqrt{1+W_s^2}$，时钟变为随机的

$$A_t=t+{\int }_0^t{W}_s^{2}ds,E{A}_t=t+\frac{t^2}{2}.$$

Itô 等距确实给 $E{M}_t^2=E{A}_t$，但这只是二阶矩恒等式。它既不说明 $A_t$ 逐路径等于或渐近于其期望，也不说明 $M_t\mid A_t$ 为正态。DDS 的有效路径包络仍使用实际的 $A_t$；要换成确定函数，必须另外证明所需的几乎处处时钟渐近。

解答四：连续曲率与两个原子的总贡献 ​

凸函数 Itô–Tanaka 公式公理库Brownian 凸函数的 Itô–Tanaka 公式Ito-Tanaka formula for Brownian convex functions · Brownian generalized Ito formula把凸函数的二阶导数理解为曲率测度，Brownian 变换中的修正项就成为局部时间对该测度的积分。使用曲率测度

$$f^{″}=2da+2{\delta }_1+2{\delta }_2.$$

$|x-1|$ 的斜率跳跃为二；$2(x-2{)}^{+}$ 的斜率跳跃也为二。公式前的 $1/2$ 使两个原子各贡献一份局部时间，而连续部分贡献 $t$。因为 $f(0)=1$，

$$f(W_1)=1+{\int }_0^1{f}_{-}^{\prime }(W_s)d{W}_s+1+L_1^1+L_1^2.$$

$f_{-}^{\prime }$ 至多线性增长，$E{\int }_0^1|f_{-}^{\prime }(W_s){|}^{2}ds<\mathrm{\infty }$，所以随机积分是真正的零均值平方可积鞅，取期望合法。

由局部时间期望公理库Brownian 局部时间Brownian local timeBrownian 路径在某个水平附近的占据时间除以邻域宽度，得到连续的空间密度，称为局部时间。公式，记标准正态密度为 $\phi$，则对 $a\ge 0$，

$$m(a):=E{L}_1^a=2\phi (a)-2a[1-\mathrm{\Phi }(a)].$$

于是

$$Ef(W_1)=2+m(1)+m(2)\approx 2+0.16663094+0.01698141=2.18361235.$$

独立复核不使用局部时间。令 $N\sim N(0,1)$，分开三个部分：

$$E{N}^2=1,$$$$E|N-1|=2\phi (1)+2\mathrm{\Phi }(1)-1=1+m(1),$$$$2E(N-2{)}^{+}=2\phi (2)-4[1-\mathrm{\Phi }(2)]=m(2).$$

合起来仍为 $2+m(1)+m(2)$。一般单个正部 $(x-K{)}^{+}$ 只贡献半份局部时间；本题之所以是一整份，是因为正部前面另有系数二。

验收标准 ​

• 用路径拓扑与连续映射解释极限，不只给某个时刻的中心极限定理
• 算清桥面积的 $1/12$，并区分去终点变换与条件抽样
• 反射的调节量非减、只在零边界增长，且不误称逐路径等于绝对值
• 平方反射过程的边界项确实消失，SDE、Laplace 变换与卡方矩相互吻合
• 广义逆在平台端点的严格不等号、下确界和右连续取值保持一致
• 重对数律使用几乎处处路径时钟，不把期望时钟当成实际时钟
• 曲率测度包含连续部分和两个原子，随机积分取期望的可积条件已验证
• 局部时间计算与独立正态积分得到同一数值，并解释全部二倍系数