多元积分换元定理

换元做了两件事：$f(F(x))$ 把读数搬回参数坐标，$|\det DF(x)|$ 把每个小体积校正为真实大小。Jacobian矩阵一般会同时伸长、压缩、剪切、反射；它的行列式恰好汇总总体积倍率。映射若把同一区域走两遍，局部倍率不会替你删除多出来的一遍，所以单射或重数处理必不可少。

第一步：线性映射的体积倍率 ​

可逆线性映射 $A$ 把体积乘 $|\det A|$。可把 $A$ 分解成初等矩阵：交换坐标不改体积，缩放某坐标乘缩放的绝对值，剪切只平移每张平行截面而不改其体积。对矩形先用Fubini定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。逐截面积分，再用有限盒子逼近推广到Jordan集。这与行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。对上述三种初等操作的变化完全一致。

以下用最大范数 $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。若 $H$ 在有界集 $E$ 上是 $L$-Lipschitz，且 $E,H(E)$ 都Jordan可测，则

证明是用网格小立方体覆盖 $E$：边长 $h$ 的每个交片在像中各坐标振幅至多 $Lh$，故可装入体积至多 $(Lh{)}^n$ 的盒子。覆盖体积取极限即得不等式。同样的覆盖论证说明Lipschitz映射把零体积集送到零体积集。

第二步：局部近线性给出双边体积估计 ​

在足够小、闭包位于 $U$ 的立方体 $Q$ 中，取 $x_0\in Q$、$A=DF(x_0)$。定义

导数连续使 $\Vert DH-I{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \delta <1$。沿 $Q$ 内线段积分，得到

因此 $H$ 与其像上的逆分别是 $(1+\delta )$ 与 $1/(1-\delta )$-Lipschitz。对任意Jordan可测 $P\subset Q$，应用上一不等式两次，再乘线性倍率，可得

这里所需的像可测性没有被暗中假定：紧Jordan集的边界为零体积，$F$ 在紧集附近可由有限个有界导数的凸邻域控制，从而局部Lipschitz；同胚将边界送到像的边界，故后者仍为零体积。逆映射同理。

紧性保证对所有相交网格立方体可统一选足够细的网格，使 $\delta$ 任意小；$DF$ 及其逆在相应紧邻域有界。式(1)就是把“微分近似”升级为“总体积误差可控”的关键。

第三步：从体积到一般积分 ​

先设 $f$ 连续。把 $S$ 与细网格相交得到有限Jordan片 $P_j$，选 $x_j\in P_j$。共有边界及其像均零体积，所以片积分可相加。$F$ 与 $f$ 在紧集上一致连续，故

用式(1)替换每片体积，误差至多为某个趋零因子乘 $sup|f|sup|\det DF|\mathrm{vol}(S)$。得到

它正是右侧积分。尤其取 $f=1$，已证明每个紧Jordan子集 $A\subset U$ 的体积公式 $\mathrm{vol}(F(A))={\int }_A|\det DF|$。

现在令 $f$ 仅有界Riemann可积。在目标域外接矩形上补零，用Darboux上下阶梯函数 $l\le f\le u$ 夹逼，使 ${\int }_{F(S)}(u-l)$ 任意小。阶梯函数的分界面是有限个坐标超平面；它们与 $F(S)$ 的交及逆像边界都零体积，因为 $F^{-1}$ 在紧邻域局部Lipschitz。因此各阶梯片的逆像Jordan可测。对这些片应用刚证明的体积公式，得到

正权重 $|\det DF|$ 保持夹逼。两边间隙任意小，便证明加权复合函数可积及换元等式。由于 $|\det DF|$ 在 $S$ 上连续且有正下界，除以它又得 $f\circ F$ 可积。证明至此不只适用于连续被积函数。

极坐标环域：接缝怎么处理 ​

$F(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 有 $\det DF=r$。在 $1\le r\le 2$、$\epsilon \le \theta \le 2\pi -\epsilon$ 的紧矩形上可选开邻域使 $F$ 单射且 $r>0$，所以面积为

让 $\epsilon \downarrow 0$，遗漏扇形在 $0<\epsilon <\pi /2$ 时位于 $0\le x\le 2,|y|\le 2\sin \epsilon$ 的窄矩形内，面积至多 $8\sin \epsilon \to 0$，得到完整环域面积 $3\pi$。也可分成几个不重叠扇区，仅让共有射线重叠；射线二维面积零。$r=0$ 的Jacobian为零，整圈角度也不单射，不能宣称闭极坐标矩形本身就是微分同胚。

反向与重复覆盖 ​

反射 $F(x,y)=(-x,y)$ 的行列式为 $-1$，却保持正面积。换元若使用裸行列式，会把面积算成负数；有向微分形式积分才同时跟踪这种符号。

在极坐标中让 $0\le \theta \le 4\pi$，计算得到环域面积的两倍，这是两次覆盖。若映射可分成若干单射片，逐片换元后目标积分会带覆盖次数。不能在仍未去重的参数域上继续使用只算一次像集的公式。

更明显的一维例子是 $x\mapsto x^2$ 在 $[-1,1]$ 上非单射：${\int }_{-1}^{1}2|x|dx=2$，像集 $[0,1]$ 长度为一。分成左右两支便看见重数二；不用绝对值则得到零，又变成了有向抵消，仍不是像集长度。

曲面面积理路曲面面积与通量积分Surface area element · Scalar surface integral · Flux integral · 曲面积分从切平行四边形导出面积密度，证明重参数不变性，并区分标量面积积分与依赖定向的通量。在两张参数图之间换坐标时，叉积模恰好多出 $|\det D\varphi |$，本定理保证两张图的积分一致。长方形、带洞区域和分片光滑边界都可处理，只需保持局部可逆、重叠零测与边界可测条件。

概率密度换元还要指定原分布确有相应密度；一般推前测度理路推前测度Pushforward measure · Image measure · 像测度沿可测映射把源测度搬到目标空间，使目标集合的质量等于其原像的质量。的积分恒等式对可测映射成立，却不自动给体积Jacobian。前者是换了测度，后者是把新测度相对Euclidean体积的倍率算出来，两项接口不可混同。