曲面面积与通量积分

参数平面的一个小矩形，经微分变成由 $X_u\mathrm{\Delta }u$ 与 $X_v\mathrm{\Delta }v$ 张成的切平行四边形。其面积为叉积模乘 $\mathrm{\Delta }u\mathrm{\Delta }v$，所以面积密度同时考虑伸缩和斜交。通量再读穿过这块小片的法向流量；沿着曲面擦过的流不贡献穿透量。

为什么更换参数不改面积 ​

设 $Y=X\circ \varphi$，$\varphi$ 是参数域间的 $C^1$ 微分同胚，$J=D\varphi$。叉积换元给

二维积分换元定理理路多元积分换元定理Multivariable change of variables theorem · Jacobian substitution theorem · 重积分换元在C¹微分同胚和紧Jordan域上证明绝对Jacobian换元公式，区分有向符号、零测边界和重复覆盖。于是证明标量积分保持不变。等价地，$\tilde{\mathsf{g}}=J^T\mathsf{g}J$ 的行列式给同一个绝对值因子。其假设包括换元一一对应且 Jacobian 非零；若参数覆盖同一点多次，积分计入重数。

通量的定向版本则跟踪 $\det J$ 的符号。保向换元不改变选定法向；反向换元时新的叉积法向为 $-n$，若几何法向仍固定为原 $n$，必须额外加负号。坐标换序不是免费反转物理流的方向。

圆柱侧面与球面 ​

对 $X(u,z)=(R\cos u,R\sin u,z)$，密度为 $R$。高度 $h>0$ 的侧面积是

取向外法向 $n=(\cos u,\sin u,0)$，场 $V(x,y,z)=(x,y,0)$ 在侧面满足 $V\cdot n=R$，所以通量为 $2\pi R^{2}h$。这只计算侧面；没有把顶底盖混进同一参数式。

对半径 $R$ 球面，$\sqrt{EG-F^2}=R^2\sin \theta$，

经纬参数在两极和接缝不构成单张开图。可先对 $\epsilon \le \theta \le \pi -\epsilon$ 积分，再用极点图估计缺失帽面积并令 $\epsilon \downarrow 0$；对 $0<\epsilon <\pi /2$，北极图 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 的密度为 $R/\sqrt{R^2-{\rho }^2}$，其中 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$。独立地积分投影圆盘 $0\le \rho \le R\sin \epsilon$，帽面积为 $2\pi {\int }_0^{R\sin \epsilon }R\rho /\sqrt{R^2-{\rho }^2}d\rho =2\pi R^2(1-\cos \epsilon )$，趋零；南帽同理。单条接缝在任意正则图中是一条曲线，二维面积为零。故常用闭矩形积分记法合法，但不能把它误认为全球正则坐标。

球面外法向下 $V(x)=x$ 有 $V\cdot n=R$，通量 $4\pi R^3$；若取内法向则为 $-4\pi R^3$，球面积仍为 $4\pi R^2$。

图形曲面与倾斜代价 ​

$X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ 的面积密度为 $\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}$。例如平面 $f(u,v)=u+2v$ 覆盖单位参数正方形的面积为 $\sqrt{6}$，投影面积只有一。取向上法向和恒定竖直流 $V=(0,0,1)$，有 $V\cdot (X_u\times X_v)=1$，所以通量反而正好是一；倾斜增加面积，同时减少每单位面积的法向流量。

非单射参数会重复计数 ​

把圆柱角参数改为 $0\le u\le 4\pi$，同样的积分得到 $4\pi Rh$。公式没有算错，它测量的是走两遍的参数曲面。要得到像集的面积，需选择无重叠覆盖或明确重数。对不可定向曲面，标量面积仍有定义；没有全局法向时不能直接套用本页的全局有向通量定义。

面积密度只用第一基本形式，因此局部等距理路曲面的局部等距Local isometry of surfaces · 圆柱展开用保持第一基本形式刻画局部等距，验证圆柱展开，并区分曲线路长、区域内距离和全局距离。保面积；逆命题不成立，面积只记录一个行列式，不能恢复全部方向长度。通量积分与散度定理理路散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。相接，曲面边界上的方向则由带边界流形理路带边界光滑流形Smooth manifold with boundary · Outward-first boundary orientation · 诱导边界定向以半空间坐标定义光滑边界，构造边界点完整切空间，并用外向量优先规则计算圆环两条边界的方向。和Stokes定理理路流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。固定。

旋转曲面 $X(u,v)=(r(u)\cos v,r(u)\sin v,z(u))$ 的完整一圈面积为 $2\pi \int r(u)\sqrt{r^{\prime }(u{)}^2+z^{\prime }(u{)}^2}du$，前提是正则且覆盖不重复。这把“周长乘母线微小弧长”的直觉变为可计算公式。