第一基本形式

地图的经纬网格标出位置，却不保证每一格一样大、两条轴始终垂直。矩阵 $\mathsf{g}$ 就是每个位置的刻度说明：$E,G$ 测两条坐标线的伸缩，$F$ 记录它们的斜交。知道这些刻度就能量任意路线，无须先知道曲面在三维中怎样弯。

推导与换坐标 ​

由链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。，${\gamma }^{\prime }=X_u{u}^{\prime }+X_v{v}^{\prime }$。展开内积即得长度公式。对 $Y=X\circ \varphi$，设 $J=D\varphi$，则

速度坐标同时变为 $w=J\tilde{w}$，于是

数值不变。这是“度量与坐标无关”的具体内容，绝不是说换坐标后矩阵的各个元素不变。由叉积恒等式或 Gram 行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。，

换坐标后行列式乘上 $(\det J{)}^2$，为面积密度换元提供了精确因子。

圆柱：换成真实横向里程 ​

$X(u,z)=(R\cos u,R\sin u,z)$ 有

故 $I=R^{2}d{u}^2+d{z}^2$。取 $x=Ru$，就成为 $d{x}^2+d{z}^2$。沿 $u=t,z=bt$ 的一圈螺旋线，长度是 $2\pi \sqrt{R^2+b^2}$，与直接在空间求速度完全一致。

球面：纬线的刻度随位置变化 ​

用 $S(\theta ,\varphi )=R(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$，计算得

经线从余纬 ${\theta }_1$ 到 ${\theta }_2$ 的长度为 $R|{\theta }_2-{\theta }_1|$；固定 ${\theta }_0$ 的完整纬线长 $2\pi R\sin {\theta }_0$。在赤道 ${\theta }_0=\pi /2$ 才等于 $2\pi R$。

$\sin \theta =0$ 时矩阵退化，说明这套参数在两极失效，不说明球面本身的度量退化。改用北极图形坐标，原点处度量矩阵就是 $I_2$，仍正定。

有交叉项的刻度也可以完全平坦 ​

平面参数 $X(u,v)=(u+v,v,0)$ 给

两条参数轴在曲面上的夹角余弦为 $1/\sqrt{2}$，不是零；速度 $(1,-1)$ 的实际长度是 $1$，不是参数平面普通范数 $\sqrt{2}$。取实际笛卡尔坐标 $x=u+v,y=v$，度量又变成 $d{x}^2+d{y}^2$。非零交叉项不等于曲面弯曲。

第一基本形式本身不选法向，法向反转对它没有影响；它决定曲线长度、角度和不带符号面积理路曲面面积与通量积分Surface area element · Scalar surface integral · Flux integral · 曲面积分从切平行四边形导出面积密度，证明重参数不变性，并区分标量面积积分与依赖定向的通量。。在每张光滑片上，这正是Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。的具体坐标表示。抽象度量不必先由给定的三维嵌入获得。

若两曲面的对应点在同一参数下有相同第一基本形式，则对应域内的每条曲线路长相同，见局部等距理路曲面的局部等距Local isometry of surfaces · 圆柱展开用保持第一基本形式刻画局部等距，验证圆柱展开，并区分曲线路长、区域内距离和全局距离。。这不迫使它们在空间中保同一曲率方向：圆柱与平面已经有相同度量，但形算子理路形算子与第二基本形式Shape operator · Second fundamental form · Weingarten map · Gauss map of a surface · 曲面高斯映射以S=-dn固定符号，从法向微分推出第二基本形式、度量自伴性与非正交坐标中的矩阵公式。不同。要描述法向如何转动，必须再加入第二基本形式。