形算子与第二基本形式

形式陈述

设 $X:U\to\mathbb R^3$ 为 $C^2$ 正则曲面片，选定 $C^1$ 单位法向 $n$ 。参数域上的法向映射为 $n:U\to S^2$ ；在嵌入像 $M=X(U)$ 上，Gauss 映射是 $\nu=n\circ X^{-1}:M\to S^2$ 。下文的 $dn_p(V)$ 采用几何记号，意为 $d\nu_p(V)$ ；等价且适用于每个浸入参数片的定义是 $S_{X(q)}(DX_qw)=-Dn_qw$ 。本页固定形算子约定

S_p(V)=-dn_p(V),\qquad V\in T_pM.

$dn_p(V)$ 与 $n(p)$ 垂直，故可通过 Euclidean 平移把 $T_{n(p)}S^2=n(p)^\perp$ 识别为 $T_pM$ 的方向空间。若用允许自交的参数曲面，此定义逐参数片成立，记 $p$ 时隐含已经选定那一片。

第二基本形式是对称双线性型

II_p(V,W)=\langle S_pV,W\rangle.

在坐标基 $(X_u,X_v)$ 中，写第一基本形式矩阵为 $\mathsf g$ ，第二基本形式矩阵为

\mathsf b=\begin{pmatrix}e&f\\f&g\end{pmatrix},\qquad e=X_{uu}\cdot n,\quad f=X_{uv}\cdot n,\quad g=X_{vv}\cdot n.

这里小写 $g$ 是一个系数，粗体 $\mathsf g$ 才是度量矩阵。形算子的坐标矩阵满足

[S]=\mathsf g^{-1}\mathsf b.

它不一定是普通转置意义下的对称矩阵；正确的不变量是 $S$ 对诱导内积自伴。只有正交单位基中才直接由对称矩阵 $\mathsf b$ 表示它。

直觉

把一支小箭头垂直插在曲面上，沿切向走一小步，记录箭头转动量，得到 $dn$ 。负号是本页和旧高斯曲率页统一采用的约定。在球面外法向下，箭头朝外张开，因此本约定的球面主曲率为负；这并不使球面高斯曲率为负。

第二基本形式从另一角度读同一信息：两条曲面各有相同切平面时，二阶偏移在法向上的分量告诉我们它们如何离开切平面。第一基本形式量面内长度，第二基本形式量相对选定法向的弯曲。

对称性来自混合偏导相等

对 $n\cdot n=1$ 求导得 $n_u,n_v\perp n$ ，所以形算子确实切向。由 $n\cdot X_j=0$ 求导，

-n_i\cdot X_j=n\cdot X_{ij},\qquad i,j\in\{u,v\}.

$C^2$ 保证混合二阶偏导相等，所以右侧关于 $i,j$ 对称。双线性延拓便得

\langle SV,W\rangle=\langle V,SW\rangle.

若 $A=[S]$ ，对参数列 $w,z$ ， $II(V,W)=w^TA^T\mathsf gz$ ，而对称性给 $A^T\mathsf g=\mathsf gA=\mathsf b$ ，所以 $A=\mathsf g^{-1}\mathsf b$ 。这推导同时解释矩阵顺序，不能把它写成 $\mathsf b\mathsf g^{-1}$ 。

换坐标与换法向是两回事

保持同一个几何法向，现要求换元为 $C^2$ 微分同胚（以便使用二阶链式法则），其 Jacobian 为 $J$ ，有

\widetilde{\mathsf g}=J^T\mathsf gJ,\qquad \widetilde{\mathsf b}=J^T\mathsf bJ,\qquad [\widetilde S]=J^{-1}[S]J.

第二式中链式法则还会出现 $X_u,X_v$ 乘二阶参数导数的项，但与法向点积为零，故消失。若反向参数后仍机械使用新的叉积来选法向，就额外反转了法向，此时 $\mathsf b$ 和 $S$ 还须反号。

单独改选 $n\mapsto-n$ 时， $II,S$ 反号而 $I$ 不变。因此 $\det S$ 不变， $\operatorname{tr}S$ 反号。坐标无关并不等于与法向选择无关。

例子与边界

圆柱的一个方向弯、一个方向直

$X(u,z)=(R\cos u,R\sin u,z)$ 取外法向 $n=(\cos u,\sin u,0)$ 。

\mathsf g=\begin{pmatrix}R^2&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \mathsf b=\begin{pmatrix}-R&0\\0&0\end{pmatrix},\quad [S]=\begin{pmatrix}-1/R&0\\0&0\end{pmatrix}.

也可直接核： $n_u=X_u/R,n_z=0$ 。环向被形算子乘 $-1/R$ ，轴向被送到零。 $S\ne0$ 而 $\det S=0$ 。

球面的外法向对应负形算子

半径 $R$ 的球面取 $n=X/R$ ，所以对任意切向 $V$ ， $dn(V)=V/R$ ，

S=-\frac1R\operatorname{id},\qquad II=-\frac1R I.

在经纬参数中 $\mathsf b=\operatorname{diag}(-R,-R\sin^2\theta)$ ，形算子为 $-(1/R)I_2$ 。改成内法向后，两者全部反号，而高斯曲率仍为 $1/R^2$ 。

非正交基中的自伴矩阵可以不对称

圆柱取 $R=1$ ，以新基 $(X_u,X_u+X_z)$ 代替 $(X_u,X_z)$ ，换基矩阵 $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 。于是

\widetilde{\mathsf g}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\quad \widetilde{\mathsf b}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix},\quad [\widetilde S]=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix}.

最后一个矩阵不对称，但 $\widetilde{\mathsf g}[\widetilde S]=\widetilde{\mathsf b}$ 对称。若直接求 $\widetilde{\mathsf b}$ 的普通特征值，会得到 $-2,0$ ，这是错误的主曲率；形算子的特征值仍为 $-1,0$ 。

推论与应用

形算子的实特征值和特征方向给出主曲率与主方向；自伴性让这一分类可用谱定理而无需一般非正规矩阵工具。Gauss 映射的 Jacobian 在正交切向基下为 $\det(-S)=\det S$ ：它记录球面上法向方向的有向面积变化，零值只说明一阶面积压缩，并不强迫曲面是平面。

法向可在每张参数片上选择，但在非可定向曲面上未必能全局连续选择。局部 $S$ 和 $II$ 仍可计算；跨片反号的量必须随法向一起处理。真正的内蕴曲率连接由 Gauss 方程给出，见保留抽象入口的高斯曲率页，不能只凭矩阵行列式公式就把内蕴性当成已证明。

给定一张曲面可以算出 $I,II$ ；反过来，任意正定 $\mathsf g$ 与对称 $\mathsf b$ 未必能来自曲面。相容条件提供三个独立微分检查，重建定理证明其局部充分性。若沿一条曲线只关心法向绕切向的扭转，测地挠率读取混合量 $II(T,n\times T)$ ，并以零值认证主方向。

参考资料

Theodore Shifrin，Differential Geometry，April 2021，Ch. 2 §2，pp. 44–49，Proposition 2.1： $S=-dn$ 、自伴性、 $I^{-1}II$ 及法向符号。
Manfredo P. do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces，Prentice-Hall，1976，Ch. 3 §2：Gauss映射及第二基本形式。

形式陈述 ​

对称性来自混合偏导相等 ​

换坐标与换法向是两回事 ​

圆柱的一个方向弯、一个方向直 ​

球面的外法向对应负形算子 ​

非正交基中的自伴矩阵可以不对称 ​