正则参数曲面与局部曲面片

一张纸有两个可以独立移动的方向。$X_u,X_v$ 描述参数网格的两条线被送到空间后朝哪里走；它们一旦平行，参数网格就在该点压扁了。满秩保证每一小块仍是二维，但远处的纸片可能盖到同一位置，所以满秩不负责排除自交。

满秩为什么给出局部图形 ​

在 $q_0$ 至少有一个 $2\times 2$ 子式非零。重新排列空间坐标后，可设 $X$ 的前两分量 $H=(X^1,X^2)$ 在 $q_0$ 的 Jacobian 可逆。逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。给邻域 $V\ni q_0$，使 $H:V\to W$ 为微分同胚。用 $(x,y)=H(u,v)$ 做新坐标，

这张图显然单射，逆映射就是投影到前两坐标，因而连续。故每个正则参数映射都能在参数域内适当缩小为嵌入图形片。这证明的是某一片的局部性质；另一片仍可能穿过同一空间位置。

切平面的坐标无关性也可直接从曲线看见。参数曲线 $c(t)$ 产生空间曲线 $X(c(t))$，其速度是 $DX{c}^{\prime }$。所有这样的速度恰是 $DX$ 的像；换坐标只是给同一像换一组基。

图形、圆柱与球面 ​

图形 $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ 有叉积 $(-f_u,-f_v,1)$，所以只要 $f\in C^1$ 就正则。圆柱参数

满足 $C_u\times C_z=R(\cos u,\sin u,0)$。它在整个参数平面正则，却因 $u$ 的 $2\pi$ 周期不单射；例如把 $u$ 限在长度小于 $2\pi$ 的开区间，即可得到一张无重叠片。

球面参数

在 $0<\theta <\pi$ 与一个局部经度区间上正则，因为 $S_{\theta }\times S_{\varphi }=R\sin \theta S$，模为 $R^2\sin \theta$。两极处此参数失效，但球面没有奇点。北极附近另用

即可得到正则片。经度接缝同样是选图问题，不是球面的一条裂缝。

真正的锥尖不能靠换图消掉 ​

圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 去掉原点后是正则曲面。若锥尖也有二维切平面，它必须包含从尖点出发的每条母线方向。但方向 $(1,0,1),(-1,0,1),(0,1,1)$ 线性独立，无法同落在一个二维平面中。这与光滑曲面切平面只有二维矛盾，所以锥尖是真实奇点。

这里可把母线写成定义在 $[0,\epsilon )$ 的曲线，其单侧导数必须落在任何假设存在的切平面；无需错误地假定母线穿过尖点后仍在同一上半圆锥内。

旋转曲面 $X(u,v)=(r(u)\cos v,r(u)\sin v,z(u))$ 满足

（此处 $r>0$）。故母线正则且不碰旋转轴时参数正则；碰轴时必须另查是否只是坐标退化，不能直接宣布曲面有尖点。球极与锥尖正好给出两个不同答案。

第一基本形式理路第一基本形式First fundamental form · 曲面诱导度量把曲面上切向的长度角度写成正定二次型，证明换坐标规律并计算圆柱与球的度量。把切向的长度写回参数域；形算子理路形算子与第二基本形式Shape operator · Second fundamental form · Weingarten map · Gauss map of a surface · 曲面高斯映射以S=-dn固定符号，从法向微分推出第二基本形式、度量自伴性与非正交坐标中的矩阵公式。再比较法向如何变化。抽象的浸入理路光滑浸入Smooth immersion · Immersion微分在每一点都单射、因而局部把定义域拉直为坐标子空间的光滑映射。和嵌入理路光滑嵌入Smooth embedding同时是浸入且把定义域同胚到其像的光滑映射。提供一般维数版本。本页对“正则参数曲面”采用允许自交的映射约定；部分教材把单射/同胚要求直接纳入“regular surface patch”，阅读时应核对定义。