曲线的曲率与挠率

一辆车可以沿直线加速，也可以匀速转弯。只有第二种动作改变切向，曲率因此应消去“加速”的影响。挠率进一步问：转弯所在的平面有没有沿途抬起、旋转？圆有曲率而挠率零；螺旋线不断转弯，同时离开任何固定平面。

从速度分解推出计算公式 ​

写 $v=ds/dt>0$。链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。给

因 $T\times N=B$，有 ${\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{″}=v^3\kappa B$，取范数得到曲率公式。它解释了为何加速度的切向分量 $v^{\prime }T$ 不贡献弯曲。在 $\kappa =0$ 处无需引入 $N$：直接写 ${\gamma }^{″}=v^{\prime }T+v^2{T}_s$，利用 $T_s\perp T$ 得 $\Vert {\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{″}\Vert =v^3\Vert T_s\Vert$，同一曲率公式仍成立。

由 $B\cdot B=1$、$B\cdot T=0$ 求导，得到 $B_s\perp B,T$，所以 $B_s=-\tau N$。再由 $N\cdot T=0$ 和 $N\cdot B=0$ 得

对 ${\gamma }^{″}$ 求导，${\gamma }^{‴}$ 的 $B$ 分量恰为 $v^3\kappa \tau$。因此

分母为 $v^6{\kappa }^2$，得到挠率公式。行列式的列顺序已固定；交换两列会改号。

哪些变化改变符号 ​

本段为使用三阶链式法则，要求重参数 $\varphi$ 为 $C^3$ 微分同胚（只讨论曲率时 $C^2$ 足够）。这样的重参数不改变对应点的 $\kappa ,\tau$，反向也一样。若 $\tilde{\gamma }(u)=\gamma (\varphi (u))$，叉积多出因子 $({\varphi }^{\prime }{)}^3$，行列式多出 $({\varphi }^{\prime }{)}^6$，分母也有相同的六次因子；低阶链式法则项含重复列，行列式为零。反向时 $T,B$ 同时变号、$N$ 不变，仍得到同一挠率。

环境中的平移和旋转也保持两者。对正交矩阵 $Q$，行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。乘上 $\det Q$：镜像反射保持曲率，却把挠率改号。参数反向与空间镜像是不同操作。

把螺旋线算到底 ​

对 $\gamma (t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$，$a>0$，记 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。逐项计算

叉积模为 $ac$，三重积为 $a^{2}b$，故

标架为

$a=2,b=1$ 时 $\kappa =2/5,\tau =1/5$。把 $b$ 改成 $-1$ 是关于水平面的镜像，挠率变成 $-1/5$；把整条曲线改为 $\gamma (-t)$ 则仍是 $1/5$。

曲率为零不是曲线不光滑 ​

$\gamma (t)=(t,t^3,0)$ 处处正则，却有

两侧主法向的极限方向相反，标准 Frenet 主法向不能在零点连续接合。两侧挠率都为零，但零点处按本定义没有挠率。直线也有良好单位切向与零曲率，却没有由 $T_s/\kappa$ 唯一选出的主法向。

在连通区间上，$\kappa \equiv 0$ 当且仅当像落在一直线上：$T_s=0$ 后积分即可。若进一步 $\kappa >0$，则 $\tau \equiv 0$ 当且仅当曲线落在固定平面中。一个方向来自平面法向恒定；反方向由 $B_s=0$ 得 $B=B_0$，再对 $\gamma \cdot B_0$ 求导得零。正曲率条件使整段的 $B$ 能被定义，不能悄悄删去。

运动中的法向加速度大小为 $v^2\kappa$。Frenet方程理路Frenet 方程与空间曲线重建Frenet–Serret equations · Fundamental theorem of space curves · 空间曲线基本定理以正曲率和挠率为输入解一个保持正交性的线性方程，得到唯一到保向刚体运动的单位速曲线。把这套局部测量反过来变成曲线重建问题；测地曲率理路测地曲率与曲面内转弯Geodesic curvature · Darboux decomposition · 曲率向量的法向切向分解把曲面上曲线的加速度分成法向弯曲与面内转弯，计算圆柱螺旋线和球面纬线，并衔接测地线与Gauss–Bonnet。则把曲面上一条曲线的总弯曲分为面内与法向两部分。