Darboux 标架与测地挠率

$k_g$ 记录曲线在曲面里转弯，$k_n$ 记录曲线朝曲面法向弯曲。还缺一项：沿曲线前进时，曲面的法向有没有绕前进方向扭转？这就是 ${\tau }_g$。

Frenet 架跟随曲线自己的密切平面，Darboux 架跟随承载它的曲面。两副架共同拥有 $T$，另外两支箭头相差角度 $\theta$。因此两种挠率的差正是两副架之间的相对转速。同一条空间曲线放在不同曲面上，可以有不同的测地挠率。

圆柱测地线不一定是曲率线 ​

在半径 $R>0$ 圆柱上取 $\gamma (t)=(R\cos t,R\sin t,bt)$，外法向 $n=e_r$。记 $q=\sqrt{R^2+b^2}$，则

圆柱形算子满足 $S{e}_{\theta }=-e_{\theta }/R,S{e}_z=0$，所以

原有曲率计算给 $k_g=0,k_n=-R/(R^2+b^2)$。当 $b\ne 0$ 时，这条螺旋线虽是测地线，却不是曲率线。它的 Frenet 主法向为 $N=-n$，可取 $\theta =\pi$，因而 ${\tau }_g=\tau$，与式 (4) 相符。$R=2,b=1$ 时三项为 $k_g=0,k_n=-2/5,{\tau }_g=1/5$。

一条直线也可以有非零测地挠率 ​

在鞍面 $X(u,v)=(u,v,uv)$ 上取直线 $\gamma (s)=(s,0,0)$。它单位速，$T=(1,0,0)$，空间曲率为零，经典 Frenet 挠率没有定义。向上曲面法向与横向切向为

直接求导得

曲线自己没有弯曲，但曲面的法向沿它不断转动。若错误地把 ${\tau }_g$ 当作必须除以 ${\kappa }^2$ 的量，就会漏掉这个完全正则的例子。

反向与改选法向 ​

固定曲面法向而反向行进时，$T,Q$ 同时反号，故 $II(T,Q)$ 不变；${\tau }_g$ 不随参数方向反号。改选曲面法向时，$S,Q$ 同时反号，${\tau }_g$ 也不变；此时 $k_n,k_g$ 都反号。保持这些规则，才能在两张曲面相交时比较同一条曲线上的测地挠率。

正交性补全标架，混合二次型检验主方向 ​

$T^{\prime }=k_{g}Q+k_{n}n$ 已由加速度分解得到。对 $n\cdot T=0$ 求导，$n^{\prime }\cdot T=-k_n$；再由定义 $n^{\prime }\cdot Q=-{\tau }_g$，以及 $n^{\prime }\perp n$，得到式 (2) 第三行。对各个正交关系求导，得到 $Q^{\prime }\cdot T=-k_g,Q^{\prime }\cdot n={\tau }_g,Q^{\prime }\cdot Q=0$，即第二行。因此不是给一副已有标架任意指定第三个系数，而是由曲面法向导数唯一读出它。

形算子自伴，且 $(T,Q)$ 为切平面的正交单位基，所以

这立即证明 $T$ 为主方向当且仅当 ${\tau }_g=0$。若主基为 $e_1,e_2$，$T=\cos \psi e_1+\sin \psi e_2$，且定向使 $Q=-\sin \psi e_1+\cos \psi e_2$，则

非脐点时零值恰对应两个主方向；脐点时式子恒零。它与 $k_g=0$ 的面内不转弯、$k_n=0$ 的渐近方向分别是三个不同的条件。

与 Frenet 挠率的符号核对 ​

在 $\kappa >0$ 区间使用Frenet 方程理路曲线的曲率与挠率Curvature and torsion of a space curve · 空间曲线曲率 · Torsion of a curve用弧长导数定义曲率和挠率，推导任意正则参数的计算公式并核验方向与退化边界。 $N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N$。由式 (3)，

把 $T^{\prime }=\kappa N$ 分解到 $Q,n$ 得式 (4) 的前两项；对 $n$ 求导则有

与式 (2) 对照得 ${\tau }_g=\tau +{\theta }^{\prime }$。改变角度提升只增加常数 $2\pi m$，不改变导数。若 $\kappa$ 经过零，式 (2) 仍有效，而式 (3)–(4) 可能因 Frenet 架失效而不能跨点使用。

等角交线的曲率线判据 ​

两张定向曲面沿同一单位速曲线横截相交，法向分别为 $n_1,n_2$，令 $Q_i=n_i\times T$。在连通参数区间选有向角 $\alpha$，使

横截性保证两法向不平行，通常的夹角属于 $(0,\pi )$，其“恒定”与这里的有向角恒定等价。对第一式求导，再与 $Q_2$ 点积；切向 $T$ 的项全部消失，得到

因此，若交线在一张曲面上是曲率线，则它在另一张上也是曲率线，当且仅当两曲面沿交线夹角恒定。这是 Joachimsthal 判据。若它在两张曲面上都是曲率线，式 (5) 也直接推出夹角恒定。

检验一个失败例：单位圆柱与平面 $z=x$ 的交线为

平面法向恒定，交线在平面上当然有 ${\tau }_g=0$；两法向内积为 $-\cos t/\sqrt{2}$，不恒定。于是它不可能在整段圆柱上也是曲率线。直接计算圆柱上的单位切向，得

仅在个别点为零，与判据一致。这里两法向始终不平行，所以横截假设确实满足。

法向直纹面提供一个可加工的检验 ​

沿曲线竖起曲面法线，构造 $Y(s,t)=\gamma (s)+tn(s)$。在 $t=0$ 有 $Y_s=T,Y_t=n$，故在每个 $(s_0,0)$ 附近总有正则窄带；限制到紧的 $s$ 子区间时可选统一宽度；并且

直纹三重积判据理路可展直纹曲面与零曲率分类Developable ruled surfaces · Nullity rulings of flat surfaces · 圆柱面圆锥面与切线可展面用三重积判定直纹曲面是否可展，以Codazzi证明非平面零曲率片必有直线母线，再精确区分柱面、锥面、切线面及秩变化边界。给

因此这条法向直纹带可展，当且仅当原曲线沿主方向行进。对半径二、螺距参数一的圆柱螺旋线，$t=0$ 处 $K_Y=-1/25$，虽然承载原曲线的圆柱自身 $K=0$。两张曲面不能因为共享一条曲线就被赋予同样的弯曲性质。