法曲率、主曲率与 Euler 公式

同一个山坡，朝下坡方向与沿等高线方向走，弯曲可能不同。先把速度都归一为一，再只读加速度沿山坡法向的分量，才得到公平的方向比较。主方向给出这项测量的极端方向；任意方向的读数由两个极值按平方余弦加权。

为什么法曲率不依赖选择哪条路 ​

曲线始终在曲面上，所以 $n(\alpha (s))\cdot {\alpha }^{\prime }(s)=0$。求导得

即 $n\cdot {\alpha }^{″}=⟨S{\alpha }^{\prime },{\alpha }^{\prime }⟩$。在给定点固定单位切向后，右侧不再含曲线的二阶自由度。其他加速度分量将在测地曲率理路测地曲率与曲面内转弯Geodesic curvature · Darboux decomposition · 曲率向量的法向切向分解把曲面上曲线的加速度分成法向弯曲与面内转弯，计算圆柱螺旋线和球面纬线，并衔接测地线与Gauss–Bonnet。中出现。

从自伴性到方向公式 ​

有限维实谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。为自伴 $S$ 提供正交单位特征基。于是

交叉项因 $e_1\perp e_2$ 为零。两个平方权重非负、和为一，所以值介于两主曲率之间，并在主方向取端点值。若两个值不同，极端方向各是一条唯一的直线，但特征向量的正负仍不唯一。

令 $E,F,G$ 与 $e,f,g$ 为两基本形式的系数，展开广义行列式可得

因此

$K$ 与 $H$ 分别是外在表达的高斯曲率与依赖法向符号的平均曲率；高斯曲率的内蕴解释另见原页。

圆柱斜向行走 ​

半径 $R$ 圆柱取外法向。环向单位向量 $e_1$ 的主曲率为 $-1/R$，轴向 $e_2$ 的主曲率为零。因此与环向成 $\theta$ 的单位方向有

圆柱上的螺旋线 $(R\cos t,R\sin t,bt)$ 有 $\cos \theta =R/\sqrt{R^2+b^2}$，故 $k_n=-R/(R^2+b^2)$。其空间曲率为正数 $R/(R^2+b^2)$，二者差一个符号：曲线主法向朝内，曲面法向朝外。

球面外法向下每个方向都给 $k_n=-1/R$，所以球面每点都是脐点。不能因此给球面选出两条唯一、全局连续的“主曲率坐标轴”。

鞍面的零法曲率并不只有一个方向 ​

$X(u,v)=(u,v,uv)$ 在原点取向上法向，有

主曲率为 $1,-1$，主方向分别为 $(1,1)/\sqrt{2}$ 与 $(1,-1)/\sqrt{2}$。参数方向 $(1,0)$、$(0,1)$ 的法曲率都为零；它们对应曲面内两条直线，是渐近方向。

一般非零方向称为渐近方向，若 $II(V,V)=0$。由Euler公式：$K<0$ 时有两条不同渐近直线；$K>0$ 时没有；$K=0$ 且 $S\ne 0$ 时只有核方向；$S=0$ 时所有方向都渐近。最后一项不能简单归进“恰有一个零方向”。

平均曲率零不代表平坦 ​

上述鞍面原点 $H=0$ 而 $K=-1$。主曲率相反抵消了平均值，却没有使乘积消失。反过来圆柱 $K=0$ 而 $H=-1/(2R)$。两个标量承担不同任务。

主曲率实数性并非任意实矩阵的性质，而来自形算子对第一基本形式的自伴性。计算中若得到非实主曲率，应先检查法向、二阶系数与 ${\mathsf{g}}^{-1}\mathsf{b}$ 的矩阵顺序。

本页给从两基本形式到方向弯曲的完整算法；高斯曲率理路高斯曲率Gaussian curvature二维 Riemann 流形在一点截面曲率的内蕴标量。页进一步接到内蕴曲率与 Gauss–Bonnet。局部某点 $K=0$ 不够保证整个邻域能展开成平面；局部等距理路曲面的局部等距Local isometry of surfaces · 圆柱展开用保持第一基本形式刻画局部等距，验证圆柱展开，并区分曲线路长、区域内距离和全局距离。是邻域上的度量条件，不能由单点两个数代替。

沿曲线认证主方向时，测地挠率理路Darboux 标架与测地挠率Darboux frame equations · Geodesic torsion · Joachimsthal constant-angle theorem补全曲面上曲线的三支Darboux标架方程，用测地挠率认证主方向、比较Frenet挠率，并判定等角交线与法向直纹面。给出 ${\tau }_g=II(T,n\times T)=0$ 的精确判据。对一个邻域上 $K=0$ 且 $S\ne 0$ 的曲面，核方向的直线母线定理理路可展直纹曲面与零曲率分类Developable ruled surfaces · Nullity rulings of flat surfaces · 圆柱面圆锥面与切线可展面用三重积判定直纹曲面是否可展，以Codazzi证明非平面零曲率片必有直线母线，再精确区分柱面、锥面、切线面及秩变化边界。再用 Codazzi 证明该方向的积分曲线确为三维直线；单点零法曲率本身没有这个结论。