正则曲线与弧长参数

同一条山路可以慢走或快走。$t$ 是手表读数，$s$ 是里程表读数；除以速率，就把“每秒变化”改成“每米变化”。正则性保证里程表从不停止，因此可以反过来用里程定位时刻。若路线自交，一个地理位置可能对应两次经过，几何数据应注明参数时刻。

为什么积分就是折线长度 ​

对每段应用微积分基本定理和积分三角不等式，

所以每条折线都不超过速率积分。反过来，${\gamma }^{\prime }$ 在紧区间上一致连续。给定 $\epsilon >0$，取网格足够细，使同一小段内导数差的范数不超过 $\epsilon$。选段内 ${\xi }_j$，则

反三角不等式说明折线长度与相应速率 Riemann 和相差至多 $\epsilon (b-a)$。让网格趋零，再让 $\epsilon \downarrow 0$，得到另一方向。

为什么换钟表不会换长度 ​

由微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。，$s^{\prime }(t)=v(t)>0$，所以严格递增；逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。给 $t^{\prime }(s)=1/v(t(s))$。再用链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。，

一般重参数下，$\Vert {\tilde{\gamma }}^{\prime }(u)\Vert =v(\varphi (u))|{\varphi }^{\prime }(u)|$。一维积分换元连同端点排序证明长度不变；绝对值正是反方向时仍得到正长度的原因。两套保方向单位速参数之间的导数为一，故只差常数；允许反方向时还可有 $s\mapsto -s+c$。

一圈螺旋线的里程表 ​

取 $a>0,b\in \mathbb{R}$，$\gamma (t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$。速度为 $(-a\sin t,a\cos t,b)$，故 $v=\sqrt{a^2+b^2}=c>0$。从 $t=0$ 起，$s=ct$；单位速参数为

参数 $t\in [0,2\pi ]$ 的长度是 $2\pi c$。例如 $a=2,b=1$，长度为 $2\pi \sqrt{5}$，而两端的直线距离只有 $2\pi$。

参数停止与几何尖点要分开 ​

$\gamma (t)=(t^3,0)$ 在零点不正则，但其像是一条直线，另一个参数 $u\mapsto (u,0)$ 完全正则。两者之间 $u=t^3$ 的逆在零点不可微，因此不是上文允许的微分同胚重参数。$\eta (t)=(t^2,t^3)$ 也在零点速度消失，却产生真正的尖点；非正则既可能来自坏钟表，也可能来自像的奇异，不能只凭速度零判断像的类型。

正则不要求单射。光滑浸入理路光滑浸入Smooth immersion · Immersion微分在每一点都单射、因而局部把定义域拉直为坐标子空间的光滑映射。页的八字曲线每次经过交点都有非零速度；它不是嵌入理路光滑嵌入Smooth embedding同时是浸入且把定义域同胚到其像的光滑映射。。$t\mapsto (\cos t,\sin t)$ 在 $[0,4\pi ]$ 上走两圈，长度为 $4\pi$，尽管像仍只是单位圆。无穷区间上的总长可以有限，例如 $\gamma (t)=(\arctan t,0)$ 在 $\mathbb{R}$ 上正则而总长为 $\pi$；弧长参数的范围不必是整条实线。

以 $T=d\alpha /ds$ 表示单位切向量后，曲率理路曲线的曲率与挠率Curvature and torsion of a space curve · 空间曲线曲率 · Torsion of a curve用弧长导数定义曲率和挠率，推导任意正则参数的计算公式并核验方向与退化边界。比较的是每走一米切向转了多少，而不是每过一秒。曲线长度还满足 $L\ge \Vert \gamma (b)-\gamma (a)\Vert$，因为后者是一段折线的长度。单位速曲线把几何形状与运动快慢分开，也让Frenet重建理路Frenet 方程与空间曲线重建Frenet–Serret equations · Fundamental theorem of space curves · 空间曲线基本定理以正曲率和挠率为输入解一个保持正交性的线性方程，得到唯一到保向刚体运动的单位速曲线。的输入成为真正的几何函数。

本页用一元微积分完成计算入口。抽象语言中正则曲线是一维浸入，长度则是诱导Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。的积分；不必先掌握这套语言才能复算上面的螺旋线。