Gauss–Codazzi 相容条件

形式陈述

设 $U\subset\mathbb R^2$ 开，坐标为 $(u,v)=(x^1,x^2)$ 。给定光滑对称矩阵场 $\mathsf g=(g_{ij})$ 与 $\mathsf b=(b_{ij})$ ，要求 $g_{11}>0$ 、 $\Delta=\det\mathsf g>0$ 。本页采用光滑版本，不宣称这是最低正则性。 $\mathsf g$ 是候选第一基本形式， $\mathsf b$ 是相对于选定法向、约定 $S=-dn$ 的候选第二基本形式；对称性与正定性本身还不保证它们来自曲面。

先只用 $\mathsf g$ 计算Christoffel 系数

\Gamma^k_{ij}=\frac12\sum_{\ell=1}^2g^{k\ell} (\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}), \qquad (g^{ij})=\mathsf g^{-1}.

令 $\Gamma_i=(\Gamma^k_{ij})_{k,j=1}^2$ ，并定义

\mathcal R=\partial_u\Gamma_v-\partial_v\Gamma_u +\Gamma_u\Gamma_v-\Gamma_v\Gamma_u, \qquad K_{\mathsf g}=\frac{\sum_{\ell=1}^2g_{1\ell}\mathcal R^\ell{}_2}{\Delta}. \tag{1}

这里 $\mathcal R$ 表示 $R(\partial_u,\partial_v)$ ，沿用曲率张量的球面为正约定； $K_{\mathsf g}$ 是由度量算出的高斯曲率，不能提前用 $\det\mathsf b/\det\mathsf g$ 替换。

若这两组数据来自光滑正则曲面，则必有

\boxed{K_{\mathsf g}\Delta=b_{11}b_{22}-b_{12}^2} \tag{G}

及两条 Codazzi 方程（ $j=1,2$ ）

\boxed{\partial_u b_{2j}-\partial_v b_{1j} +\sum_{k=1}^2(\Gamma^k_{2j}b_{1k}-\Gamma^k_{1j}b_{2k})=0.} \tag{C}

等价地， $(\nabla_{\partial_u}b)(\partial_v,\partial_j) =(\nabla_{\partial_v}b)(\partial_u,\partial_j)$ 。在本页的二维、Euclidean 三维环境中，恰是一个 Gauss 条件和两个 Codazzi 条件。它们还是局部重建的充分条件，但充分性需要另做积分构造，见曲面基本定理。

直觉

第一基本形式规定尺子怎样量，第二基本形式规定法向怎样转。只检查每点的两个矩阵，可能得到一批各自看起来合理、邻点之间却拼不起来的指令。

Gauss 条件检查尺子本身算出的曲率，是否等于两方向弯曲的乘积。Codazzi 条件检查弯曲沿相邻方向变化时是否协调。它们都来自同一个要求：先沿 $u$ 再沿 $v$ 搬动切向与法向，交换微分次序不能留下矛盾。

一个常见的循环检查是先定义 $K=(b_{11}b_{22}-b_{12}^2)/\Delta$ ，再说 Gauss 方程成立。这样只算了外在候选值，没有检查给定度量是否同意。式 (1) 特意把内在计算单独列出。

例子与边界

行列式相合，仍会被 Codazzi 否决

在任意开矩形上给

\mathsf g=I_2,\qquad \mathsf b=\begin{pmatrix}v&0\\0&0\end{pmatrix}.

度量常数，所以 $\Gamma_u=\Gamma_v=0$ 、 $K_{\mathsf g}=0$ ； $\det\mathsf b=0$ ，Gauss 条件完全通过。但第一条 Codazzi 左端为

\partial_u b_{21}-\partial_v b_{11}=0-1=-1.

所以不存在具有这两基本形式的曲面，连足够小的开邻域也不行。问题不是 $v=0$ 处形算子退化：在 $v>0$ 的矩形上仍然失败。

反过来， $\mathsf g=I_2,\mathsf b=I_2$ 的两个 Codazzi 左端均为零，但 Gauss 方程要求 $0=1$ ，仍不可能。两种障碍不能互相替代。

球面符号的完整核对

在 $0<u<\pi$ 的经纬片取

\mathsf g=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sin^2u\end{pmatrix}, \qquad \mathsf b=-\mathsf g.

非零系数为 $\Gamma^1_{22}=-\sin u\cos u$ 、 $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\cot u$ 。因此

\Gamma_u=\begin{pmatrix}0&0\\0&\cot u\end{pmatrix},\quad \Gamma_v=\begin{pmatrix}0&-\sin u\cos u\\\cot u&0\end{pmatrix},\quad \mathcal R=\begin{pmatrix}0&\sin^2u\\-1&0\end{pmatrix}.

式 (1) 给 $K_{\mathsf g}=1$ ，而 $\det\mathsf b=\sin^2u=\Delta$ 。由于 $\nabla g=0$ ， $\nabla b=-\nabla g=0$ ，Codazzi 也通过。这是单位球外法向的数据：主曲率均为 $-1$ ，乘积仍为正一。

$u=0,\pi$ 不在这张正定坐标片中；不能在分母为零处硬套上述判据。需要换一张正则图，而不是把球极点判成曲面奇点。

圆锥候选数据的微分检验

取 $0<a<1$ 、 $c=\sqrt{1-a^2}$ 、 $r>0$ ，在局部角度坐标中给

I=dr^2+a^2r^2d\theta^2,\qquad II=h(r)d\theta^2.

这里只有 $\Gamma^r_{\theta\theta}=-a^2r$ 、 $\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=1/r$ 非零。代入式 (1) 得 $K_I=0$ ，Gauss 条件对任何 $h$ 都通过。但第二条 Codazzi 给

h'(r)-\frac{h(r)}r=0.

所以 $h(r)=Cr$ 才相容； $h(r)=r^2$ 不相容。特别地 $C=ac$ 时，

X(r,\theta)=(ar\cos\theta,ar\sin\theta,cr),\qquad n=(-c\cos\theta,-c\sin\theta,a)

是一个显式实现，直接求二阶偏导得到 $b_{\theta\theta}=acr$ 。这里 $n=X_r\times X_\theta/\|X_r\times X_\theta\|$ ；改选相反法向应把整个 $II$ 反号。

推论与应用

从混合偏导推导矩阵条件

设真正的曲面为 $X$ ，以三列组成 $F=(X_u\ X_v\ n)$ 。切向投影是诱导度量的 Levi–Civita 联络，故 Gauss 与 Weingarten 求导公式为

X_{ij}=\sum_k\Gamma^k_{ij}X_k+b_{ij}n, \qquad n_i=-\sum_{k,\ell}g^{k\ell}b_{i\ell}X_k.

令 $b_i=(b_{i1},b_{i2})$ 为行向量， $s_i=\mathsf g^{-1}b_i^T$ 为列向量，得到

F_i=FA_i,\qquad A_i=\begin{pmatrix}\Gamma_i&-s_i\\b_i&0\end{pmatrix}. \tag{2}

$F$ 可逆，因为 $X_u,X_v$ 独立且 $n$ 为单位法向。于是 $F_{uv}=F_{vu}$ 推出

\mathcal C:=\partial_u A_v-\partial_v A_u+A_uA_v-A_vA_u=0. \tag{3}

式 (3) 的左上 $2\times2$ 块是

\mathcal R-s_u b_v+s_v b_u. \tag{4}

乘上 $\mathsf g$ 后， $(\ell,j)$ 项要求

\langle R(\partial_u,\partial_v)\partial_j,\partial_\ell\rangle =b_{1\ell}b_{2j}-b_{2\ell}b_{1j}.

左右两边都对 $\ell,j$ 反对称：左侧来自度量相容，右侧可直接交换指标。二维反对称矩阵只有一个独立项，取 $\ell=1,j=2$ 就是 (G)。式 (3) 的左下两项恰是 (C)。

还须解释为何没有遗漏右上角的方程。记 $H=\operatorname{diag}(\mathsf g,1)$ 。由 Christoffel 公式及 $s_i=\mathsf g^{-1}b_i^T$ ，有

\partial_iH=A_i^TH+HA_i. \tag{5}

将式 (5) 的 $u,v$ 导数相减，得到 $\mathcal C^TH+H\mathcal C=0$ 。所以右上块由左下块通过度量唯一决定，右下标量为零。因而 (G)、(C) 不仅由式 (3) 推出，也足以令整个 $\mathcal C$ 为零。这是后续重建实际使用的完整相容性。

判定流程与它的停止位置

给定数据时，先检查定义域、光滑性、 $\mathsf g$ 正定和 $\mathsf b$ 对称；再算 $\Gamma_i$ 与 $K_{\mathsf g}$ ；最后保留一个 Gauss 残差和两个 Codazzi 残差。任何一个非零，就是精确的局部不可能证书。全部为零时，才进入标架积分和位置积分。

只在一个点残差为零，不是邻域的相容性；数值残差很小，也不是精确存在定理。全局单值、周期闭合和自交还不由这三个局部微分方程决定。特别是 Gauss 方程证明了已存在曲面的高斯曲率只由 $I$ 决定，却没有声称 $I$ 单独决定环境中的弯曲。

参考资料

Peter Petersen，Classical Differential Geometry，§6.3，pp. 168–170：Gauss–Weingarten 矩阵与相容条件。本页固定列标架及 $S=-dn$ ，独立列出全部残差块。
Theodore Shifrin，Differential Geometry，April 2021，Ch. 2 §3，pp. 57–61：Christoffel 系数、Codazzi 方程和内蕴曲率。

形式陈述 ​

行列式相合，仍会被 Codazzi 否决 ​

球面符号的完整核对 ​

圆锥候选数据的微分检验 ​

从混合偏导推导矩阵条件 ​

判定流程与它的停止位置 ​

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