两基本形式的曲面重建定理

形式陈述

设 $U\subset\mathbb R^2$ 是连通、单连通开集， $\mathsf g$ 是光滑正定对称 $2\times2$ 矩阵场， $\mathsf b$ 是光滑对称矩阵场，二者在整个 $U$ 满足Gauss–Codazzi 条件。则存在光滑正则浸入

X:U\longrightarrow\mathbb R^3

使其第一、第二基本形式分别为 $\mathsf g,\mathsf b$ ，其中第二形式使用按有序坐标 $(u,v)$ 选出的法向

n=\frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|},\qquad S=-dn.

给定 $p_0\in U$ 、 $x_0\in\mathbb R^3$ 与正向初始三列矩阵 $F_0$ ，满足

F_0^TF_0=\operatorname{diag}(\mathsf g(p_0),1),\qquad \det F_0>0,

再要求 $X(p_0)=x_0$ 、 $(X_u\ X_v\ n)(p_0)=F_0$ ，则解唯一。不指定初值时，解唯一到保向刚体运动 $X\mapsto QX+c$ ， $Q\in\mathrm{SO}(3)$ 。这里使用同一参数域和同一坐标；任意重新标号后，应先拉回两基本形式再比较。

不要求整个 $U$ 单连通时，每点附近仍有这样的解。单连通保证全域单值浸入，不保证 $X$ 单射、像闭合、完备或无自交。每点附近可由逆函数定理选取一个非零的 $2\times2$ 坐标子式，使 $X$ 限制为嵌入图；这一局部结论不能升级为全域嵌入。

直觉

曲线重建只有一个行进变量，解一条线性 ODE 后就能积分切向。曲面有两个独立行进方向：沿一条折线路线算出的标架，必须和沿另一条路线算出的相同。Gauss–Codazzi 正是这个额外的二维要求。

证明有两个不能省略的积分步骤。先把切向和法向的变化率积分成一副真正的标架；再把两支切向箭头积分成位置。标架返回不代表位置也返回，例如一根平直圆柱的内在平行架绕一圈能回到原位，展开位置却已前进一个周长。

例子与边界

从一族弯曲指令直接画出曲面

在矩形上给

I=du^2+dv^2,\qquad II=k(u)\,du^2,

其中 $k$ 为任意光滑实函数，允许经过零。度量曲率和第二形式行列式都为零；Codazzi 化为 $\partial_v k=0$ ，所以相容。

令

\phi(u)=\int_{u_0}^u k(t)\,dt, \quad X(u,v)=\left(\int_{u_0}^u\cos\phi(t)\,dt,\ v-v_0, \int_{u_0}^u\sin\phi(t)\,dt\right). \tag{1}

则 $X_u=(\cos\phi,0,\sin\phi)$ 、 $X_v=(0,1,0)$ ， $n=(-\sin\phi,0,\cos\phi)$ 。直接得到 $I=du^2+dv^2$ 、 $X_{uu}=k n$ 、 $X_{uv}=X_{vv}=0$ ，所以 $II=k(u)du^2$ 。这是曲面重建的实际解，不仅是存在性引用。

$k\equiv0$ 得平面； $k\equiv1$ 得 $X=(\sin u,v,1-\cos u)$ （取 $u_0=v_0=0$ ）； $k(u)=u$ 则产生曲率渐变的柱面， $u=0$ 的整条母线是形算子为零的点。三者内在度量相同，环境弯曲不同。 $k=1$ 在 $U=\mathbb R^2$ 上仍是正则浸入，但 $X(u+2\pi,v)=X(u,v)$ ；单连通域没有阻止重复覆盖。

两种不同的全局障碍

在穿孔平面上，用局部极坐标表示同一个全局度量

I=dr^2+a^2r^2d\theta^2,\qquad II=0, \qquad 0<a<1.

这里 $d\theta=(-y\,dx+x\,dy)/(x^2+y^2)$ 是全局一形式， $\theta$ 本身不是全局函数。局部解为

X(r,\theta)=(r\cos(a\theta),r\sin(a\theta),0).

沿 $\theta$ 增加 $2\pi$ ，它的标架转过 $2\pi a$ ，没有返回。因为局部解的唯一性，不能改选另一个局部解消除这一非恒等旋转，故没有全域单值的指定两形式实现。

另取同一穿孔平面上的

I=(dr/r)^2+d\theta^2,\qquad II=0.

正交余标架 $dr/r,d\theta$ 都闭，平行架的旋转返回已经为恒等。但局部解 $X=(\log r,\theta,0)$ 绕一圈产生位移 $(0,2\pi,0)$ ，仍不能单值。这个例子专门说明：检查标架闭合以后，还必须检查位置周期。

这两组数据都满足所有局部相容方程。单连通假设是充分条件，去掉它并不表示每组数据都失败；圆柱的实际两基本形式就能在圆柱参数空间上单值实现。

推论与应用

第一步：在矩形上亲自证明标架可积

用相容页的记号构造 $A=A_u,B=A_v$ ，它们满足

B_u-A_v+AB-BA=0. \tag{2}

先在一条水平线 $v=v_0$ 解

F_u(u,v_0)=F(u,v_0)A(u,v_0),\qquad F(u_0,v_0)=F_0.

再对每个固定 $u$ ，沿竖线解

F_v(u,v)=F(u,v)B(u,v)

并以上一步的值作初值。线性 ODE在每个系数定义的紧线段上存在唯一解；系数光滑使解光滑依赖参数。后一事实也可直接由逐次积分级数逐项求导得到，其统一阶乘界见平行移动的参数依赖证明。

还不能立刻说 $F_u=FA$ 在离开基线后成立。定义误差

E=F_u-FA.

用已知的竖向方程与式 (2) 计算

\begin{aligned} E_v &=F_{uv}-F_vA-FA_v\\ &=F_uB+FB_u-FBA-FA_v\\ &=EB+F(AB+B_u-BA-A_v)=EB. \end{aligned}

初值为 $E(u,v_0)=0$ ，故线性方程唯一性给 $E\equiv0$ 。至此才证明两个方向的方程同时成立，且任何有相同初值的解沿水平、竖直路线都相同。无需把“可积”当作未经证明的黑箱。

第二步：Gram 矩阵保证它确实是几何标架

记 $H=\operatorname{diag}(\mathsf g,1)$ 。相容页已经直接核验

H_i=A_i^TH+HA_i.

而 $G=F^TF$ 也满足同一方程。沿任意已构造的水平、竖直路线， $G-H$ 满足齐次线性 ODE 且初值为零，所以

F^TF=H. \tag{3}

因此前两列 $V_1,V_2$ 的 Gram 矩阵正是 $\mathsf g$ ，第三列 $n$ 单位且垂直于它们。 $\det F$ 从正初值连续变化，并由 $\det(F^TF)=\det\mathsf g>0$ 永不为零；于是 $n$ 是 $V_1\times V_2$ 的正向单位向量。这里并没有假设 $F$ 是正交矩阵，一般的 $V_1,V_2$ 并不正交单位。

第三步：把闭的切向一形式积分成位置

方程的第一、第二列给

\partial_vV_1=F(\Gamma^1_{21},\Gamma^2_{21},b_{21})^T =F(\Gamma^1_{12},\Gamma^2_{12},b_{12})^T=\partial_uV_2,

因为 Christoffel 的下标对称且 $\mathsf b$ 对称。所以向量值一形式

\eta=V_1\,du+V_2\,dv

逐分量闭。矩形上的闭一形式积分给 $dX=\eta$ ；也可明确取

X(u,v)=x_0+\int_{u_0}^{u}V_1(t,v_0)\,dt +\int_{v_0}^{v}V_2(u,t)\,dt.

对 $u$ 求导并用 $\partial_uV_2=\partial_vV_1$ ，第一段和第二段的端点项恰合成 $V_1(u,v)$ ；对 $v$ 求导直接得 $V_2$ 。因此 $X_u=V_1,X_v=V_2$ 。式 (3) 保证正则性及第一基本形式， $V_j$ 的微分方程与 $n$ 点积给 $X_{ij}\cdot n=b_{ij}$ ，从而第二形式也正确。

第四步：为什么单连通足以粘合

沿 $U$ 中任一分段光滑路径，标架方程成为 $F'=F(Au'+Bv')$ ，位置满足 $X'=V_1u'+V_2v'$ 。紧路径可由有限个小矩形覆盖，线性 ODE 不会在路径内部爆破，所以解可逐段延拓。

矩形构造与唯一性说明：在同一小矩形内，把一段路径替换为另一条同端点路径，终值不变。若两条路径端点固定同伦，把同伦方块细分得足够细，使每个小格的像落在一个这样的矩形中；沿小格边界逐格替换，内部边相消，就把一条路径的延拓变成另一条。连续同伦也足够：其紧像有有限矩形覆盖，由 Lebesgue 数取足够细网格，再在各矩形内用分段光滑线连接网格像，获得相同的逐格替换。于是解只依赖路径的端点固定同伦类。

单连通消除了所有闭路类，因此标架和位置都全域单值；局部仍是已证的光滑解。这同时解释非单连通情形的两项障碍：回路首先可能改变标架，标架若都返回，闭一形式 $\eta$ 还可能有非零周期。要下降成全域曲面，必须使相应刚体回返的旋转和位移都为恒等。

第五步：初值唯一性给出保向刚体唯一性

两组解若初值相同，沿每条路径满足同一 ODE 与同一位置积分，故处处相同。若初始位置和标架不同，令 $Q=\widetilde F_0F_0^{-1}$ 。两者有相同 Gram 矩阵，故 $Q^TQ=I$ ，且两初始行列式均为正，所以 $\det Q=1$ 。取 $c=\widetilde x_0-Qx_0$ 后， $QX+c$ 与 $\widetilde X$ 有相同初值，因而相同。

这个唯一性只需域连通，单连通用于存在性中的单值延拓。镜像在本页的坐标诱导法向约定下会使 $II$ 反号；若同时允许改选法向，应明确更改比较规则，而不是删掉“保向”二字。

参考资料

Peter Petersen，Classical Differential Geometry，§6.3，Theorem 6.3.3，pp. 171–173：标架、Gram 矩阵与位置的两步重建。本页补写矩形误差 ODE 和单连通延拓。
Philippe G. Ciarlet、Liliana Gratie、Cristinel Mardare，“New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory”，C. R. Math. 345 (2007)，pp. 273–278：单连通域上的浸入与保向刚体唯一性。正文只证明光滑经典版本。
Theodore Shifrin，Differential Geometry，April 2021，Ch. 2 §3，Theorem 3.8，pp. 63–64：唯一性与法向符号；该处没有展开存在性证明，本文不把这一省略当作已完成的可积性论证。

形式陈述 ​

从一族弯曲指令直接画出曲面 ​

两种不同的全局障碍 ​

第一步：在矩形上亲自证明标架可积 ​

第二步：Gram 矩阵保证它确实是几何标架 ​

第三步：把闭的切向一形式积分成位置 ​

第四步：为什么单连通足以粘合 ​

第五步：初值唯一性给出保向刚体唯一性 ​

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