带边界光滑流形

在纸面中央能向四周迈步，在纸边沿只能向一侧迈入纸内。不过为了做线性运算，仍把“向外”的方向保留在切空间中：向量可以相减，切空间不能只剩一个半平面。边界定向则是一条排序规则，用来决定沿纸边走哪一个方向算正。

边界不是坐标制造出来的 ​

假设一点既有内部开球图，又被另一个图送到半空间边界。两图间转移和逆均有光滑延拓，链式法则说明转移的导数可逆。逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。于是把该点附近的开球送到包含像点的 Euclidean 开集。但像被限制在半空间内，边界点没有这样的 Euclidean 开邻域，矛盾。这证明光滑图册中的边界不变性。

限制半空间图到 $x^n=0$，便给 $\partial M$ 一组 $(n-1)$ 维坐标。转移映射保边界，其限制及逆仍光滑；这构成无边界光滑图册，也解释 $\partial (\partial M)=\varnothing$ 的集合层面含义。带角点空间需另一套定义，不能用此句抹掉各面的角点。

完整切空间如何定义 ​

在半空间图中，把向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$ 作用在光滑函数 $f$ 上，定义为 $D\tilde{f}(\phi (p))v$，其中 $\tilde{f}$ 是 $f$ 的任一局部光滑延拓。若两延拓在半空间上相同，其导数先在内部相同，再由连续性在边界相同，所以此定义不依赖延拓。换图时用可逆 Jacobian 传递向量，链式法则保证同一个方向导子得到一致定义。坐标方向给出 $n$ 个线性独立向量。

不能照搬“所有定义在双向开区间内的曲线速度”来定义边界点的完整切空间。若 $c:(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathbb{H}}^n$ 且 $c(0)$ 在边界，最后一坐标在零点取局部极小值，故 $c_n^{\prime }(0)=0$。这种曲线速度只看见 $T_p\partial M$；朝内方向要用单侧曲线实现，朝外方向可取其负向量。

为什么外向量的具体选择不影响符号 ​

若 $\nu ,\tilde{\nu }$ 都朝外，则模去 $T_p\partial M$ 后位于同一条负半轴，所以 $\tilde{\nu }=a\nu +w$，$a>0,w\in T_p\partial M$。把正向基的第一列替换为它，行列式只乘以正数 $a$，边界方向不变。

圆环的两条边界 ​

取平面区域 $A=\{r\le \sqrt{x^2+y^2}\le R\}$，$0<r<R$，赋标准 $dx\wedge dy$ 定向。令 $e_{\rho }=(\cos \theta ,\sin \theta )$、$e_{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$，则 $(e_{\rho },e_{\theta })$ 正向。

外圈的朝外向量为 $\nu =e_{\rho }$，所以正切向是 $e_{\theta }$，即逆时针。内圈从区域走向洞内才算朝外，故 $\nu =-e_{\rho }$；要让 $(\nu ,T)$ 仍正向，就须 $T=-e_{\theta }$，即顺时针。

取 $\omega =(xdy-ydx)/2$，有 $d\omega =dx\wedge dy$。外圈积分为 $\pi R^2$，内圈顺时针积分为 $-\pi r^2$，合计

如果把两圈都取逆时针，就错误地把洞的面积加上了。

环境边界与流形边界不同 ​

球面在 ${\mathbb{R}}^3$ 中作为子集的拓扑边界是整张球面，但作为二维流形的边界为空。闭圆盘嵌入三维时，流形边界仍只是圆周；不能把所有没有三维内部的点都当作流形边界。

闭正方形配通常嵌入光滑结构有角点，其角附近模型是正象限，不是普通光滑半空间图。这不否定它在拓扑上可同胚于圆盘；只是光滑边界问题必须说明是否允许角点、是否更换结构或圆滑处理。紧致无边界流形通常称闭流形，“闭”不是仅指某环境里的闭子集。

Stokes定理理路流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。在定向带边界流形上把外微分积分化为诱导定向的边界积分，紧支撑允许接触边界。反转整个流形的定向，会同时反转诱导边界；只反转某一条边界则改变公式。

本页提供半空间与边界方向的共同接口。嵌入理路光滑嵌入Smooth embedding同时是浸入且把定义域同胚到其像的光滑映射。页已有带边界定义域到无边界环境的局部半切片；当陪域也有边界时，一般映射未必保边界，要讨论整齐嵌入须增加边界相容及横截条件。拓扑单元中的附着、同调和基本类可复用此处的边界对象，但它们不要求读者先学习曲率。