曲面的局部等距

一张纸可以卷成圆柱，纸上的尺子没有伸缩，空间中的法向却改变了方向。局部等距描述的是纸上人的测量：路线长短、夹角、面积刻度。环境观察者看到纸弯了，这由形算子记录，两个观察并不冲突。

度量等式为什么保长度 ​

对曲线 $\gamma$，链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。给 $(F\circ \gamma {)}^{\prime }=dF({\gamma }^{\prime })$。微分等距使两边速率相同，积分便得长度相同。若 $F:U\to V$ 是微分同胚，$F$ 与 $F^{-1}$ 把区域内连接两点的曲线一一对应，对所有路径长度取下确界便得区域内路径距离相等。

反过来，设光滑 $F$ 保每一小段曲线的长度。取任意点和任意切向速度 $V$，选一条实现该速度的光滑曲线。两段长度对短时间间隔除以间隔再取极限，得到 $\Vert dF(V)\Vert =\Vert V\Vert$。再用极化恒等式

恢复所有内积。因此保所有路线长度与保第一基本形式是一致的局部条件，不能只检查两条坐标轴上的长度而忘记交叉项。

用真实横向长度展开圆柱 ​

令 $R>0$，从平面到圆柱的映射为

有 $F_x=(-\sin \left(x/R\right),\cos \left(x/R\right),0)$ 与 $F_z=(0,0,1)$，两者正交且模一，所以诱导形式恰为 $d{x}^2+d{z}^2$。对任意路径 $(x(t),z(t))$，

把 $x$ 限制在长度小于 $2\pi R$ 的开区间，就得到一张可逆展开片。圆柱外法向 $n=(\cos \left(x/R\right),\sin \left(x/R\right),0)$ 沿横向的导数是 $F_x/R$，所以 $S(F_x)=-F_x/R$；局部展开保长度，环境弯曲仍非零。

同一个公式并不是全局等距 ​

若允许 $x\in \mathbb{R}$，则 $F(x+2\pi R,z)=F(x,z)$。这是局部等距覆盖，已经不单射；相距 $2\pi R$ 的两个平面点甚至有同一像。

即使使用开带 $0<x<2\pi R$，点 $(\epsilon ,0)$ 与 $(2\pi R-\epsilon ,0)$ 在开带内路径距离为 $2\pi R-2\epsilon$。它们在圆柱的相应去缝区域内距离也相同；但若允许在整根圆柱上穿过接缝，最短路只有 $2\epsilon$（取 $0<\epsilon <\pi R/2$）。差别来自允许路径的区域变了，不是度量计算失效。

保面积或保角都还不够 ​

平面映射 $(x,y)\mapsto (2x,y/2)$ 的 Jacobian 行列式一，保面积，却把水平长度加倍、竖直长度减半。$(x,y)\mapsto (2x,2y)$ 保角，却把所有长度加倍。局部等距同时要求完整的内积矩阵等式。只在某点微分等距也不够：$(x,y)\mapsto (x+x^3,y)$ 在原点微分为恒等，但附近水平刻度为 $1+3x^2$。

局部等距保夹角与面积密度理路曲面面积与通量积分Surface area element · Scalar surface integral · Flux integral · 曲面积分从切平行四边形导出面积密度，证明重参数不变性，并区分标量面积积分与依赖定向的通量。，且在光滑 Riemann 理论中保持 Levi–Civita 联络与高斯曲率。因此球面 $K=1/R^2$ 不能局部等距到 $K=0$ 的平面；这一障碍使用的是Gauss绝妙定理理路高斯曲率Gaussian curvature二维 Riemann 流形在一点截面曲率的内蕴标量。，不是仅由球面图片看起来弯曲推断。圆柱计算给的是一个显式等距证书。

全局等距应另外验证一一性、满射性和整体距离；一般曲面能否由给定度量嵌入三维，又是更强的存在问题。本页不把“曲率相同”当作充分条件，也不从单点 $K=0$ 推出邻域可展开。

圆柱的显式展开只是一个正例。零高斯曲率与平面展开坐标理路零高斯曲率与平面展开坐标Flat metric developing map · Zero Gaussian curvature and local flatness · 零曲率的局部平坦性从任意光滑二维度量构造正交余标架，旋去闭联络后积分出平面坐标，证明K恒零的充分性并区分单点、单值与单射。进一步证明一般光滑二维度量在邻域上 $K\equiv 0$ 时确有平面等距坐标，并用闭联络、旋转余标架和积分给出构造；圆锥的 ${216}^{\circ }$ 裁片与单连通域上的非单射展开分别检验切缝和全局边界。可展直纹曲面理路可展直纹曲面与零曲率分类Developable ruled surfaces · Nullity rulings of flat surfaces · 圆柱面圆锥面与切线可展面用三重积判定直纹曲面是否可展，以Codazzi证明非平面零曲率片必有直线母线，再精确区分柱面、锥面、切线面及秩变化边界。另回答三维中的母线和分类问题，不能仅由一个局部等距公式替代。