Abel变换与径向反演 | Codeboy's Blog

若平面密度只依赖到中心的距离，转动测量直线不会改变投影。此时一条完整投影剖面可以承载全部未知信息。难点从角度覆盖变成了一个端点带平方根奇性的积分；Abel反演给出怎样解开这个累计过程。

形式陈述

有限上限的平方根核

固定 $L>0$ 。对 $[0,L]$ 上有界、分段连续且只有有限个跳点的Q，定义

(\mathcal A Q)(t)=\int_t^L\frac{Q(u)}{\sqrt{u-t}}\,du, \qquad 0\le t<L, \tag{1}

并令 $(\mathcal A Q)(L)=0$ 。积分按反常积分处理下端，绝对值不超过 $2\|Q\|_\infty\sqrt{L-t}$ 。本页没有 $1/\sqrt\pi$ 的归一化因子；若与分数阶积分记号比较，需要记住这一点。

若要接到从零开始的左侧分数阶积分，先令 $q(r)=Q(L-r)$ ，则 $(\mathcal A Q)(L-r)=\sqrt\pi\,(I^{1/2}q)(r)$ 。时间反向和 $\sqrt\pi$ 一起解释这里两次复合的 $\pi$ ，以及后续反演的负号；不能只把两个算子的名称互换。

令 $P=\mathcal A Q$ 。核心复合恒等式是

\mathcal A P(t)=\pi\int_t^L Q(u)\,du. \tag{2}

因此在Q的每个连续点 $0<t<L$ ，

Q(t)=-\frac1\pi\frac d{dt} \int_t^L\frac{P(v)}{\sqrt{v-t}}\,dv. \tag{3}

t=0若右连续，采用右导数也成立。跳点只恢复左右邻域中的值，不由积分决定该单点应怎样赋值。式(3)求导的对象是已经存在的整个积分函数，不能把奇异核直接逐项求导后丢掉下端项。

径向密度对应哪个变量

设R>0， $f(x)=q(|x|)$ 在半径R以外为零，q在[0,R]满足同样的有界分段连续条件。用Radon直线投影，所有角度得到同一个偶函数

g(s)=2\int_{|s|}^R\frac{q(r)r}{\sqrt{r^2-s^2}}\,dr \quad(|s|<R),\qquad g(s)=0\quad(|s|\ge R). \tag{4}

在切线 $|s|=R$ 上，圆内部分至多一个点，积分为零；边界圆上的有限赋值不改变读数。

取平方半径坐标

L=R^2,\quad t=s^2,\quad u=r^2,\quad Q(u)=q(\sqrt u),\quad P(t)=g(\sqrt t),

式(4)恰好变成 $P=\mathcal A Q$ 。系数2被 $du=2r\,dr$ 消掉，故反演系数仍为 $-1/\pi$ ，不是 $-2/\pi$ 。

直觉

弦长为何产生平方根

法向距离为s的直线上，沿线坐标z对应半径 $r=\sqrt{s^2+z^2}$ 。密度是偶函数，所以先将z积分缩成正半轴，再令r替代z：

2\int_0^{\sqrt{R^2-s^2}}q(\sqrt{s^2+z^2})\,dz =2\int_{|s|}^R q(r)\frac r{\sqrt{r^2-s^2}}\,dr.

靠近最近点 $r=|s|$ ，半径增加很慢，需要较长的弦坐标才能改变少量半径。这正是核变大的几何原因。平方根奇性可积，不表示投影无限大。

两个奇异核合起来反而简单

把P的定义代入式(2)左侧，在三角区域 $t<v<u<L$ 上换序。内层核积分为

\int_t^u\frac{dv}{\sqrt{(v-t)(u-v)}}=\pi. \tag{5}

验证时令 $v=t+(u-t)\sin^2\phi$ ， $0<\phi<\pi/2$ ，两个平方根与微分中的因子相消，留下 $2\int_0^{\pi/2}d\phi=\pi$ 。先在去掉两端的区间换元，再取端点极限即可。

对绝对值使用同一计算，三角区域总积分最多为 $\pi\|Q\|_\infty(L-t)$ 。所以Fubini定理确实适用，而不只是形式上交换两个奇异积分：

\begin{aligned} \mathcal A\mathcal A Q(t) &=\int_t^L Q(u) \left[\int_t^u\frac{dv}{\sqrt{(v-t)(u-v)}}\right]du\\ &=\pi\int_t^L Q(u)\,du. \end{aligned}

最后用微积分基本定理在Q的连续点求导，便得到式(3)。反演负号来自可变的积分下限；两次平方根累计合成一次普通累计，再用一次求导撤销它。

P本身连续。写成 $\int_0^{L-t}Q(t+w)w^{-1/2}dw$ 后，先把 $w<\eta$ 的贡献以 $2\|Q\|_\infty\sqrt\eta$ 一致控制；剩余部分中Q只有有限跳点，移动t时被积函数几乎处处收敛且有可积上界。令η趋零即可补齐连续性。

例子与边界

均匀圆盘：先核常数

令q(r)=1（0≤r<R），则

g(s)=2\sqrt{R^2-s^2}\quad(|s|<R).

它就是弦长。平方坐标下 $Q=1$ 、 $P(t)=2\sqrt{L-t}$ ，再次积分得 $\mathcal A P(t)=\pi(L-t)$ ；负导数除以π恰好返回1。这是核查符号、因子2和π的最短例子。

双层圆盘：连续投影不意味着密度连续

取

q(r)=\mathbf1_{\{r<2\}}+\mathbf1_{\{r<1\}},\qquad r\ge0.

其投影是

g(s)=2\sqrt{4-s^2}_++2\sqrt{1-s^2}_+, \tag{6}

这里 $\sqrt{a}_+=\sqrt{\max(a,0)}$ 。它处处连续，但在|s|=1附近斜率有奇性。L=4时，复合式给

\mathcal A P(t)=\pi\bigl[(4-t)_++(1-t)_+\bigr],\qquad 0\le t\le4.

在0<t<1求导返回Q=2，在1<t<4返回Q=1，正好恢复两层；t=1的左右导数不同，因此公式没有给该点唯一的Q(1)。给边界圆r=1赋1、2或其他有限值，所有直线积分仍相同。

左图空心端点强调圆周单独取值不可辨认；右图连续的蓝色投影仍包含两层信息，核复合后的左右导数分别恢复各开层。

多项式剖面：不用数值求积猜系数

在单位圆盘内取 $q(r)=(1-r^2)^2$ ，外面取零。平方坐标有Q(u)=(1−u)²。令u=t+(1−t)v，得到

\begin{aligned} P(t)&=(1-t)^{5/2}\int_0^1(1-v)^2v^{-1/2}\,dv\\ &=\frac{16}{15}(1-t)^{5/2}, \end{aligned} \tag{7}

因为把平方展开后积分，系数为 $2-4/3+2/5=16/15$ 。再作一次同样的积分，得到

\mathcal A P(t)=\frac\pi3(1-t)^3.

式(3)因此恢复(1−t)²。投影平滑了剖面的一部分变化，但精确复合恒等式仍保留原来的密度。

常见导数型公式需要什么条件

有时把反演写成

q(r)=-\frac1\pi\int_r^R\frac{g'(s)}{\sqrt{s^2-r^2}}\,ds. \tag{8}

给一个足以逐点使用它的条件： $P=\mathcal A Q$ 在[0,L]上绝对连续， $P(L)=0$ ；对当前t=r²<L，P′在t的某个邻域连续（t=0用右邻域），并在整个[0,L]可积。还要求Q在t连续。双层例在t=1以外符合这些条件，多项式例也符合。

绝对连续性先给 $P(v)=-\int_v^L P'(u)du$ ，换序得到

\mathcal A P(t)=-2\int_t^L P'(u)\sqrt{u-t}\,du.

在t附近，P′有界，核的局部积分可直接控制；离开t之后，核及其导数有统一界，由P′的可积性控制。因此可对该式求导，得 $\int_t^L P'(u)/\sqrt{u-t}\,du$ 。再令u=s²， $P'(s^2)=g'(s)/(2s)$ 与du相消，便得到式(8)。r=0按同一右端极限解释。

这些条件不能只写“g有导数”。例如输入P(t)恒等于1，忽略端点便会从式(8)算出零；但任何有界Q都满足 $|\mathcal A Q(t)|\le2\|Q\|_\infty\sqrt{L-t}\to0$ ，常数数据根本不在本页的有界剖面范围中。先核端点迹，才能知道使用的是哪一类逆问题。

推论与应用

径向先验把未知函数从二维降到一维，才使一个角度的完整投影足够。若仅看到某一角度的剖面像圆盘弦长，不能据此断定原密度一定径向；有限角零数据扰动仍然可能存在。先验是输入合同的一部分，不能由反演公式替读者补上。

对由J个同心均匀圆盘叠成的层模型，若半径 $R_j$ 和权重 $a_j$ 已给出，投影可准确表示为 $2\sum_j a_j\sqrt{R_j^2-s^2}_+$ 。在Q个查询距离直接求值需要O(JQ)次算术和平方根求值，存储模型及答案用O(J+Q)；平方根的区间精度成本另计。这里没有声称能从Q个任意有噪读数唯一推断未知J、半径和权重。

对有噪连续数据，式(3)中的求导可能放大细小变化；存在精确逆公式不等于已给出稳定数值算法。若要承诺重建误差，应再提供噪声范数、剖面先验和正则化规则。截止反投影给另一种连续全角L2证书，两页的输入空间和误差对象不能混用。

连续投影重建终点把双层迁移与多项式剖面完整算一遍，并把边界圆的不可辨认单点与整层恢复分开报告。

参考资料

Francesco Mainardi，Abel Integral Equations: An Introduction via Laplace Transform and Fractional Calculus，第五版，2012，§1式(1.9)、§2式(2.5a–b)，印页4–5。该稿给归一化半积分的复合与两种求逆方式；本页改为有限上限、无Gamma因子，并直接证明半阶核复合及当前逐点条件。
Matthias Beckmann，Computer Tomography，2023，§2.2 Proposition2.12及Example2.14，印页10–11，径向投影与圆盘弦长。分层与多项式的反演证书在本文自行计算。

形式陈述 ​

有限上限的平方根核 ​

径向密度对应哪个变量 ​

弦长为何产生平方根 ​

两个奇异核合起来反而简单 ​

均匀圆盘：先核常数 ​

双层圆盘：连续投影不意味着密度连续 ​

多项式剖面：不用数值求积猜系数 ​

常见导数型公式需要什么条件 ​

反向链接