这组任务把“从投影重建图像”拆成可以逐项核验的承诺。先检查一条投影到底是什么，再证明有限角度遗漏了什么，随后为全角有噪数据选择截止，最后将模型迁移到非光滑径向密度。前两项处理几何信息，第三项处理误差范数，第四项处理额外先验。

建议先沿连续投影重建路线阅读Radon与切片理路Radon变换与Fourier切片Radon transform · Fourier slice theorem · Central slice theorem · 拉东变换 · 投影切片定理用有符号距离与法向角记录直线积分，证明一维投影频谱等于二维频谱的径向切片，并区分全角唯一性与有限角度的不可辨认函数。、滤波反投影理路滤波反投影与截止误差Filtered backprojection · Filtered back projection · FBP · 斜坡滤波反投影由极坐标面积元推导连续全角反演，证明截止K后从投影L2数据到图像L2的准确算子范数为√K，并分别认证噪声、谱尾与离散实现误差。及Abel反演理路Abel变换与径向反演Abel transform · Abel inversion · Abel integral equation · 阿贝尔积分变换把径向直线投影化成平方根奇异核，通过两次积分的复合与连续点求导恢复剖面，核清分层跳点、端点迹和导数型反演的正则性条件。。这里的全部角度和距离都是连续模型；程序核验解析证书，不模拟一台只有有限探测器的扫描器。

任务一：倾斜图像的投影不能只改宽度 ​

给

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),a=(1/2,-1),f(x)=e^{-\pi (x-a{)}^{T}A(x-a)}.$$

求法向 $(1,0)$、$(0,1)$、$(3/5,4/5)$ 的完整投影，再逐一核对频域切片。

完整答案 ​

A的特征值为1、3，所以正定且det A=3。一般单位法向θ的投影参数是

$$c=({\theta }^{\perp }{)}^{T}A{\theta }^{\perp },m=a\cdot \theta ,Rf(\theta ,s)=c^{-1/2}{e}^{-\pi (3/c)(s-m{)}^2}.$$

三个方向分别给

$$\begin{array}{rl}{R}_1(s)& =\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi (3/2)(s-1/2{)}^2},\\ R_2(s)& =\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi (3/2)(s+1{)}^2},\\ R_3(s)& =\frac{5}{\sqrt{26}}{e}^{-\pi (75/26)(s+1/2{)}^2}.\end{array}$$

第三方向 ${\theta }^{\perp }=(-4/5,3/5)$，故 $c=2-24/25=26/25$，中心 $m=3/10-4/5=-1/2$。这两项应从矩阵乘法算出，不能从图像投影宽度目测。

一维高斯变换给三条切片

$${\hat{R}}_1(\sigma )=\frac{1}{\sqrt{3}}{e}^{-2\pi {\sigma }^2/3}{e}^{-\pi i\sigma },{\hat{R}}_2(\sigma )=\frac{1}{\sqrt{3}}{e}^{-2\pi {\sigma }^2/3}{e}^{2\pi i\sigma },$$$${\hat{R}}_3(\sigma )=\frac{1}{\sqrt{3}}{e}^{-26\pi {\sigma }^2/75}{e}^{\pi i\sigma }.$$

另一方面，$A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$。将三条 $\xi =\sigma \theta$ 代入 $3^{-1/2}{e}^{-\pi {\xi }^T{A}^{-1}\xi }{e}^{-2\pi ia\cdot \xi }$，逐项得到同样结果。每条投影积分都为 $1/\sqrt{3}$，也是二维总质量；若漏掉c的振幅因子，这个跨角一致性检查立即失败。

任务二：准确的两条投影也可能不足 ​

取

$$g(x,y)=4{\pi }^{2}xy{e}^{-\pi (x^2+y^2)}.$$

证明它非零，却在前两个法向上有全部零读数，并找一个第三方向的非零读数。

完整答案 ​

g是 ${\partial }_x{\partial }_y{e}^{-\pi (x^2+y^2)}$。固定x沿y积分时，y因子是奇函数；固定y沿x积分时同理。因此两个投影不是“网格上接近零”，而是对每个实数s精确为零。

切片微分关系给

$$Rg(\theta ,s)={\theta }_1{\theta }_2(4{\pi }^2{s}^2-2\pi )e^{-\pi s^2}.$$

对θ=(3/5,4/5)、s=0，读数为 $-24\pi /25$。f和f+g在前两份投影中无法区别；第三份已能区别它们。这里未知类允许实有符号的Schwartz函数，没有暗加非负或有限参数先验。

迁移到m个已知法向时，取 $\prod _{j=1}^m({\theta }_j^{\perp }\cdot \mathrm{\nabla })$ 作用于高斯。频谱是非零多项式乘高斯，却在全部已测频率线上消失。因而有限角度的零空间不会因探测器沿s取得很密就自动消失。本任务也没有宣称任何一个额外角度一定消掉全部零空间。

任务三：用正确的范数选择截止 ​

现在改为完整全角数据，真图像为 $f(x)=e^{-\pi |x{|}^2}$，数据噪声满足

$$\Vert e{\Vert }_{L^2([0,\pi )\times \mathbb{R})}\le \delta ={10}^{-3}.$$

目标是认证图像L2误差≤10⁻²。比较K=1、K=5/4，并用显式噪声检查√K常数。

先独立计算偏差 ​

二维Fourier谱仍为同一高斯。截止中心值和谱尾分别为

$$f_K(0)=2\pi {\int }_0^K{e}^{-\pi r^2}rdr=1-e^{-\pi K^2},$$$$\Vert f-f_K{\Vert }_2^2=2\pi {\int }_K^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi r^2}rdr=\frac{1}{2}{e}^{-2\pi K^2}.$$

所以采用三角预算

$$E(K)={10}^{-3}\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\pi K^2}.$$

向外区间计算给

$$0.03155685<E(1)<0.03155686,0.00633775<E(5/4)<0.00633776.$$

K=1的这份充分预算失败；K=5/4通过。失败只表示本界不能认证，不表示每份实际噪声都会超过容差。通过也不表示K=5/4是最小或最优截止。

输出噪声与被删谱尾的支撑不交，还可使用更紧的平方预算 $\sqrt{K{\delta }^2+\frac{1}{2}{e}^{-2\pi K^2}}$。下载结果同时列出两者，保持点值偏差、L2偏差与平方能量的区分。

噪声放大确实依赖截止 ​

在投影频域取

$$E_{\epsilon }(\alpha ,\sigma )=a{\mathbf{1}}_{K-\epsilon \le |\sigma |\le K}.$$

输入能量为 $2\pi \epsilon a^2$，输出能量为 $\pi a^2[K^2-(K-\epsilon {)}^2]$，故范数比值为 $\sqrt{K-\epsilon /2}$。例如K=5/4、ε=1/4，比值为 $\sqrt{9/8}=3/(2\sqrt{2})>1$；让ε趋零逼近√K。这说明常数1不够，也说明一维斜坡中间范数K不是此处准确的整体范数。

程序在80位十进制定点格上向外计算π、平方根、指数和预算。π用两个交错arctan级数的有理上下界；平方根用整数平方比较；指数先把非负自变量除以2直到≤1/2，再以带余项的正项Taylor和包围exp，倒数得到负指数，最后反复平方。每一步都向外取整，决定通过用上端、决定该预算失败用下端。

证书的连续部分已有式(7)那样的全空间积分证明，有限数值点只检查实现。δ是给定并应由测量机制另行证明的数据范数界；程序不能从一个有限数组自动验证未知连续噪声的δ。

任务四：迁移到有跳层的径向密度 ​

给径向先验及完整剖面

$$g(s)=2{\sqrt{4-s^2}}_{+}+2{\sqrt{1-s^2}}_{+}.$$

恢复全部层，再对 $q(r)=(1-r^2{)}^2$（0≤r<1，外面为零）完成独立检查。

双层恢复 ​

令L=4、t=s²。由两个圆盘弦长，候选为 $Q(u)={\mathbf{1}}_{u<4}+{\mathbf{1}}_{u<1}$，且

$$\mathcal{A}P(t)=\pi [(4-t{)}_{+}+(1-t{)}_{+}].$$

在0<t<1负导数除以π等于2，在1<t<4等于1。返回半径坐标后，r=1/2密度为2、r=3/2密度为1、r>2密度为0。中心由右连续值得2；r=1和r=2两个圆上的单独取值不能由投影决定。

直接读数还给 $g(0)=6$、$g(1)=2\sqrt{3}$、$g(3/2)=\sqrt{7}$、$g(2)=0$。它们可用有理平方根区间核验。相同的一组读数并不能在没有径向先验时认证整个二维密度。

多项式恢复与复合常数 ​

L=1时，Q(u)=(1−u)²，直接展开积分得到

$$P(t)=\frac{16}{15}(1-t{)}^{5/2},\mathcal{A}P(t)=\frac{\pi }{3}(1-t{)}^3.$$

求导后恢复Q；例如q(1/2)=9/16。更一般地，非负整数n的剖面Q(u)=(L−u)ⁿ有

$$\mathcal{A}Q(t)=C_n(L-t{)}^{n+1/2},C_n=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})\frac{2}{2j+1}.$$

再积一次时，另一系数为π乘 $D_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{n+1})/4^{n+1}$；有理恒等式 $C_n{D}_n=1/(n+1)$ 证明复合结果确为 $\pi (L-t{)}^{n+1}/(n+1)$。下载程序以两套递推/有限和交叉检查这些系数，不用浮点积分猜π。

若输入P在L附近不趋零，便不可能由本页有界Q产生；若要求跳点的唯一指定值，也超出了积分数据的信息范围。直接对有噪剖面微分同样没有本任务的准确数据合同。

下载与复算边界 ​

公开标准库核验程序与发布结果包含：一般有理正定矩阵与单位法向的配方恒等式、有限角频谱零因子、两份截止预算、环带准确范数比、分层查询和Abel多项式系数。运行时必须用--output指定自己的结果路径；普通Python与python -O使用相同显式检查，不依赖assert。

这些检查验证数学证书和其实现。连续全角重建、有限角零空间、径向先验和离散有限扫描分别有自己的合同；下载结果没有把它们合并成一个“扫描成功”标志。回到学习路线可逐项追溯每份证书的条件。