Radon变换与Fourier切片

一张平面图像的一个读数，可以是沿整条直线累计的总量。转动直线并改变它与原点的距离，会得到一族投影。Radon变换研究这些读数怎样编码原图像；切片定理说明，每个完整投影恰好提供二维频谱中的一条直线。

形式陈述

直线用法向和距离编号

令

\theta_\alpha=(\cos\alpha,\sin\alpha),\qquad \theta_\alpha^\perp=(-\sin\alpha,\cos\alpha),\qquad 0\le\alpha<\pi.

直线 $x\cdot\theta_\alpha=s$ 可写成 $x=s\theta_\alpha+t\theta_\alpha^\perp$ 。这里 $s$ 可正可负， $t$ 沿直线移动； $\theta_\alpha$ 是法向，不是射线行进方向。定义

(Rf)(\alpha,s)=\int_{\mathbb R} f(s\theta_\alpha+t\theta_\alpha^\perp)\,dt. \tag{1}

本页的逐点定理先取 $f\in\mathcal S(\mathbb R^2)$ ：这表示 $f$ 无限可微，且每个偏导数乘任意多项式后仍有界。高斯及其任意阶导数都属于这类。快速衰减保证式(1)对每条线绝对收敛，投影关于s也光滑、快速衰减；对s求导只需在积分内使用方向导数，衰减界提供可积控制函数。

对一般 $f\in L^1(\mathbb R^2)$ ，选择一个Borel代表后，式(1)对每个固定角度的几乎所有s有意义，并且

\int_{\mathbb R}|Rf(\alpha,s)|\,ds\le\|f\|_1, \qquad \int_0^\pi\int_{\mathbb R}|Rf|\,ds\,d\alpha\le\pi\|f\|_1. \tag{2}

此时投影是等价类，不承诺每条特定直线上的读数。修改f在一条直线上的值不改变二维L1类，却可能改变那条线的积分；式(2)的几乎处处合同正好容纳这种差别。

切片定理的频率规范

沿用Fourier变换的 $2\pi$ 规范，二维变换记作 $\widehat f$ ，只对投影距离s做的一维变换记作 $\mathcal F_s$ 。对 $f\in L^1$ ，每个固定角度都有

\mathcal F_s(Rf)(\alpha,\sigma) =\widehat f(\sigma\theta_\alpha),\qquad \sigma\in\mathbb R. \tag{3}

对 $f\in\mathcal S$ ，所有角度的完整投影唯一决定f。这里完整包括全部 $s\in\mathbb R$ ，全角包括整个半圆；两份函数的投影几乎处处相同也足够。有限条投影不满足这个信息合同。

直觉

为什么沿线积分留下法向频率

在直线 $x=s\theta+t\theta^\perp$ 上，频率 $\sigma\theta$ 的振荡因子是

e^{-2\pi i(\sigma\theta)\cdot x}=e^{-2\pi i\sigma s}.

它与沿线坐标t无关。因此先沿t累计，再沿s计算频率，与直接在平面上计算频率 $\sigma\theta$ 是同一件事。注意这条频率线沿法向θ，而不是沿原来的积分直线。

左侧蓝线沿θ的垂直方向积分，右侧蓝线却沿法向θ读取频谱。灰色等值线分别为空间密度和频谱的模，未表示两者在同一坐标中重合。

换序和换元各负责一步

矩阵 $[\theta\ \theta^\perp]$ 是行列式为1的旋转。对连续紧支撑函数，多变量换元先在有限矩形上给 $dx=ds\,dt$ ；扩大矩形并控制绝对尾即可用于快速衰减函数。一般L1函数由连续紧支撑函数在L1中的逼近扩展这个保积分的旋转操作，因而同样有

\int_{\mathbb R^2}|f(s\theta+t\theta^\perp)|\,ds\,dt=\|f\|_1.

这不需要把无限区域直接塞进有限区域换元的假设。

由上述有限绝对积分，Fubini定理允许交换次序：

\begin{aligned} \mathcal F_s(Rf)(\alpha,\sigma) &=\int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} f(s\theta+t\theta^\perp)e^{-2\pi i\sigma s}\,dt\,ds\\ &=\int_{\mathbb R^2}f(x)e^{-2\pi i\sigma\theta\cdot x}\,dx =\widehat f(\sigma\theta). \end{aligned}

同一绝对积分删去指数并用三角不等式，便得到式(2)。

全角唯一性为何不等于有限角唯一性

若Schwartz函数的投影为零，式(3)让频谱在每条径向直线上为零。任意非零 $\xi\in\mathbb R^2$ 都唯一写成 $\sigma\theta_\alpha$ （除角度端点约定外），所以整个频谱为零，Fourier反演给 $f=0$ 。Schwartz频谱确实可积：对f反复分部积分，将频率的多项式增长转移成仍可积的偏导数，就得到足够快的频率衰减。

若投影仅几乎处处为零，则对几乎所有α，一维变换对所有σ为零。这些α在半圆中稠密； $\widehat f$ 的连续性再补齐缺少的方向。反之，有限个角度只给有限条频率直线，直线之间仍有未测信息。

例子与边界

平移且倾斜的高斯

设A为实对称正定二阶矩阵， $a\in\mathbb R^2$ ，取

f(x)=\exp[-\pi(x-a)^TA(x-a)].

固定θ后令

d=\theta^TA\theta,\quad b=\theta^TA\theta^\perp,\quad c=(\theta^\perp)^TA\theta^\perp>0.

沿线坐标减去 $a\cdot\theta^\perp$ ，法向距离减去 $a\cdot\theta$ ；再配方：

du^2+2buv+cv^2 =c(v+bu/c)^2+\frac{\det A}{c}u^2, \qquad dc-b^2=\det A.

利用一维高斯积分，得到整个投影

Rf(\alpha,s)=\frac1{\sqrt c} \exp\!\left[-\pi\frac{\det A}{c}(s-a\cdot\theta)^2\right]. \tag{4}

振幅 $c^{-1/2}$ 不能删除：积分线沿窄方向穿过时，累计量会变小。投影宽度取决于 $\det A/c$ ，一般也不等于 $\theta^TA\theta$ 。

令 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ 、 $a=(1/2,-1)$ 。对θ=(3/5,4/5)，有c=26/25、 $a\cdot\theta=-1/2$ ，所以

Rf(\alpha,s)=\frac5{\sqrt{26}} e^{-\pi(75/26)(s+1/2)^2}.

其一维变换为

\frac1{\sqrt3}\,e^{-\pi(26/75)\sigma^2}e^{\pi i\sigma}.

这正好等于二维公式

\widehat f(\xi)=\frac1{\sqrt{\det A}} e^{-\pi\xi^TA^{-1}\xi}e^{-2\pi i a\cdot\xi}

在 $\xi=\sigma\theta$ 处的值。后一式可将A正交对角化后做两次一维高斯变换，或对上述配方逐次积分得到。

完整的两条投影仍可能什么都看不到

令 $\psi(x,y)=e^{-\pi(x^2+y^2)}$ ，取

g=\partial_x\partial_y\psi=4\pi^2xy\,e^{-\pi(x^2+y^2)}\ne0.

它沿坐标法向θ=(1,0)和(0,1)的投影都为零：积分变量中的奇函数在两侧抵消。对一般θ，切片定理及微分的Fourier公式却给

Rg(\alpha,s)=\theta_1\theta_2\frac{d^2}{ds^2}e^{-\pi s^2} =\theta_1\theta_2(4\pi^2s^2-2\pi)e^{-\pi s^2}. \tag{5}

因此θ=(3/5,4/5)、s=0时，读数为 $-24\pi/25$ 。相同的两条坐标投影可以对应f和f+g两张不同的图像；这里函数允许有符号，未额外假定非负密度。

任意有限组法向 $\theta_1,\ldots,\theta_m$ 也一样。取

g=\prod_{j=1}^m(\theta_j^\perp\cdot\nabla)\psi.

其频谱等于非零多项式 $\prod_j2\pi i(\theta_j^\perp\cdot\xi)$ 乘高斯，所以g非零；但在每条已测频率线 $\xi=\sigma\theta_j$ 上，该多项式有一个零因子。这给出真正快速衰减的零数据输入，不依赖有限数值采样。

推论与应用

把所有角度的切片拼回频率平面后，还必须考虑面积元：极坐标中的环带面积随半径增长。滤波反投影用斜坡因子 $|\sigma|$ 补偿这件事；直接把读数沿原线涂回去不会自动恢复f。截止高频后的准确噪声界，则要同时核对投影数据与图像使用的不同积分测度。

若先验已知 $f(x)=q(|x|)$ ，旋转不变性使全部角度给同一条投影。这不是有限角反例的例外漏洞，而是未知函数类缩小了。Abel径向反演利用该先验把问题化成一个平方根端点核，并能恢复分层剖面。

投影关于s的总积分为 $\int_{\mathbb R^2}f$ ，与角度无关；这是把式(3)取σ=0，也可直接换序证明。若各角度的总质量不一致，给定读数就不是某个可积f的精确全投影。不过这一项必要条件远不足以认证全部数据相容性。

连续投影重建终点要求分别交付高斯配方、有限角零数据函数、截止误差及径向迁移证书。它不把几幅投影图示当成任意二维图像已经可恢复的证据。

参考资料

Matthias Beckmann，Computer Tomography，2023-12-04，§2.2，Definitions2.5、Propositions2.6、2.11、2.15；§3.1，Theorem3.1及Corollary3.2，印页8–12、19–20。这里使用库中2π规范，明确L1等价类与Schwartz逐点合同；倾斜高斯和有限角导数反例在正文直接推导。

形式陈述 ​

直线用法向和距离编号 ​

切片定理的频率规范 ​

为什么沿线积分留下法向频率 ​

换序和换元各负责一步 ​

全角唯一性为何不等于有限角唯一性 ​

平移且倾斜的高斯 ​

完整的两条投影仍可能什么都看不到 ​

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