滤波反投影与截止误差

投影把一整条线上的值相加；反投影把一个读数沿那条线放回去。后一操作会把不同线的贡献叠成模糊图像，尚不是前一操作的逆。滤波反投影先修正各频率的权重，再做回投影；有噪数据还必须决定哪些高频值得保留。

形式陈述

先固定全部归一化

采用Radon变换的参数 $0\le\alpha<\pi$ 、 $\theta_\alpha=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 。所有Fourier指数仍为 $e^{-2\pi i s\sigma}$ 。本页定义不除以π的反投影

R^*g(x)=\int_0^\pi g(\alpha,x\cdot\theta_\alpha)\,d\alpha. \tag{1}

星号记录它与直线积分的配对关系，不预先宣称R是整个平面L2上的有界算子。对光滑快速衰减数据，换序可直接验证 $\int Rf\,\overline g=\int f\,\overline{R^*g}$ 。

定义斜坡滤波 $\Lambda$ ：只对距离变量做Fourier变换，再乘 $|\sigma|$ 。对 $f\in\mathcal S(\mathbb R^2)$ ，精确反演为

f=R^*\Lambda Rf. \tag{2}

在这个规范中，右侧没有额外的 $1/2$ 或 $1/(2\pi)$ 。若改用角频率、把R*除以π，或将角度积到2π，公式必须随之换算。

截止后的输入、输出与误差

设 $K>0$ ，把斜坡替换为

m_K(\sigma)=|\sigma|\mathbf1_{\{|\sigma|\le K\}},\qquad R_Kg=R^*\Lambda_Kg. \tag{3}

输入数据空间和范数固定为

Y=L^2([0,\pi)\times\mathbb R,d\alpha\,ds),\qquad \|g\|_Y^2=\int_0^\pi\int_{\mathbb R}|g(\alpha,s)|^2\,ds\,d\alpha.

对任意g∈Y，式(3)按下文的频域公式定义，给一个连续、平方可积的图像；从Y到 $L^2(\mathbb R^2)$ 的算子范数恰为

\boxed{\|R_K\|=\sqrt K.} \tag{4}

若 $f\in\mathcal S$ 、实测数据为 $g=Rf+e$ 、 $\|e\|_Y\le\delta$ ，则

\|R_Kg-f\|_2 \le \sqrt K\,\delta+ \left(\int_{|\xi|>K}|\widehat f(\xi)|^2\,d\xi\right)^{1/2}. \tag{5}

这是一份连续全角数据证书。有限角度、有限探测器窗口、求积与舍入的误差没有被δ自动包含，除非另有证据把它们转成上述Y范数内的扰动。

直觉

斜坡来自面积元

二维逆变换要求对频率平面的面积积分。用 $\xi=\sigma\theta_\alpha$ 、 $\sigma\in\mathbb R$ 、 $0\le\alpha<\pi$ 表示频率，除原点及角度接缝外每点恰好出现一次，并有

d\xi=|\sigma|\,d\sigma\,d\alpha.

这是换元公式的Jacobian：两个导数列为θ和 $\sigma\theta^\perp$ ，行列式为σ，面积取绝对值。先在避开原点和接缝的有限扇区换元，再让扇区耗尽平面；Schwartz谱的绝对尾保证极限合法。

把Fourier切片代进去，得到

\begin{aligned} f(x) &=\int_0^\pi\int_{\mathbb R} \widehat f(\sigma\theta_\alpha)e^{2\pi i\sigma x\cdot\theta_\alpha} |\sigma|\,d\sigma\,d\alpha\\ &=\int_0^\pi(\Lambda Rf)(\alpha,x\cdot\theta_\alpha)\,d\alpha. \end{aligned}

双重绝对积分等于 $\int|\widehat f|<\infty$ ，所以Fubini换序有明确依据。删除 $|\sigma|$ 就删掉了频率平面的面积权重，不能仍期待得到f。

Hilbert变换在本规范中的乘子为 $-i\operatorname{sgn}\sigma$ ，而距离微分的乘子为 $2\pi i\sigma$ ，故在可作这些运算的快速衰减输入上

\Lambda=\frac1{2\pi}H\partial_s.

两次虚数因子的乘积为正；把这一步的符号写反，会把恢复图像整体取负。

为什么噪声范数是√K，不是K

令 $E(\alpha,\sigma)=\mathcal F_sg(\alpha,\sigma)$ 。有界Fourier乘子先保证每个角度的截止滤波在L2中有意义，其一维范数为K。然而回投影改变积分测度，不能只报这个中间算子的范数。

将频率平面上函数G定义为

G(\sigma\theta_\alpha)=\mathbf1_{\{|\sigma|\le K\}}E(\alpha,\sigma). \tag{6}

原点和接缝怎样赋值不影响积分。极坐标计算及Plancherel等距性给

\begin{aligned} \|\mathcal F^{-1}G\|_2^2 &=\int_0^\pi\int_{-K}^{K}|E(\alpha,\sigma)|^2|\sigma|\,d\sigma\,d\alpha\\ &\le K\int_0^\pi\int_{\mathbb R}|E(\alpha,\sigma)|^2\,d\sigma\,d\alpha =K\|g\|_Y^2. \end{aligned} \tag{7}

一般L2输入的换元可先对连续紧支撑E验证，再在 $|\sigma|\le K$ 上逼近：权重 $|\sigma|\le K$ 把未加权L2误差控制为加权误差，因此等式和定义都通过极限保留。

此外，Cauchy–Schwarz不等式直接给

\int_0^\pi\int_{-K}^K |E|\,|\sigma|\,d\sigma\,d\alpha \le\|g\|_Y\sqrt{\frac{2\pi K^3}{3}}<\infty.

因此G还可积，逆积分选出连续代表。将该绝对收敛的逆积分按α分组，正是式(3)，不需要对一个未经选择代表的L2函数任意取直线迹。

上界确实不能缩小

取 $0<\varepsilon<K$ ，在每个角度令

E(\alpha,\sigma)=a\mathbf1_{\{K-\varepsilon\le|\sigma|\le K\}},\qquad a\ne0.

它对应一份合法的L2数据。两边准确积分为

\|g\|_Y^2=2\pi\varepsilon|a|^2,\qquad \|R_Kg\|_2^2=\pi|a|^2\bigl[K^2-(K-\varepsilon)^2\bigr].

比值为 $\sqrt{K-\varepsilon/2}$ ，让ε趋零便得到式(4)的下界。高频噪声放大是一个最坏情形结论，不依赖“噪声总在高频”这样的经验假定。

例子与边界

截止也会删掉真信号

对准确数据，切片式和式(6)表明

\widehat{R_KRf}(\xi)=\mathbf1_{\{|\xi|\le K\}}\widehat f(\xi). \tag{8}

所以f的截止偏差正好是式(5)中的谱尾。噪声输出在圆盘内，偏差在圆盘外，两者正交；若记谱尾范数为 $b_K$ ，还可得到比三角界更紧的

\|R_K(Rf+e)-f\|_2^2 =b_K^2+\|R_Ke\|_2^2 \le b_K^2+K\delta^2. \tag{9}

两种预算都正确，计算时应标明采用哪一种，不能将噪声振幅与能量相加。

令 $f(x)=e^{-\pi|x|^2}$ ，则 $\widehat f=f$ ，极坐标积分给

(R_KRf)(0)=1-e^{-\pi K^2},\qquad b_K=\frac1{\sqrt2}e^{-\pi K^2}. \tag{10}

中心的点值偏差与L2偏差相差 $\sqrt2$ ，而不是同一个误差对象。若 $\delta=10^{-3}$ ，用式(5)要求L2误差不超过 $10^{-2}$ ：K=1的预算约0.031557，K=5/4的预算约0.006338。后一个选择通过；这只比较了两个参数，并未证明它是全部实数截止中的最优选择。

右图蓝线是式(5)的充分上界，红线为容差；灰色谱尾下降时，噪声界仍会随K增长。这不是一次离散扫描的实际误差曲线。

可以怎样选择K

若额外知道某个 $s>0$ 和M满足

\int_{\mathbb R^2}|\xi|^{2s}|\widehat f(\xi)|^2\,d\xi\le M^2,

则 $b_K\le MK^{-s}$ 。对于M>0、δ>0，平衡两项的选择

K=(M/\delta)^{2/(2s+1)}

给误差不超过 $2M^{1/(2s+1)}\delta^{2s/(2s+1)}$ 。这是一个充分参数规则；M是必须已有证明的先验界，不能从同一份有噪数据任意填入。δ=0时可让K增大逼近f；固定δ>0时盲目增大K会放大噪声。

没有截止的反演在数据L2范数下无统一有界性。把上面的噪声环带移到越来越大的频率，并归一化输入范数为1，输出范数就无界。连续精确公式存在，并不表示它对有限精度数据稳定。

实空间核仍不是局部平均

逆变换可直接算成

q_K(s)=\int_{-K}^K|\sigma|e^{2\pi i\sigma s}\,d\sigma =\frac{K\sin(2\pi Ks)}{\pi s} +\frac{\cos(2\pi Ks)-1}{2\pi^2s^2}\quad(s\ne0),

而 $q_K(0)=K^2$ 。对Schwartz投影，可以先与qK卷积再回投影。该核有振荡和负瓣，尾部也不绝对可积；不能将它当成非负概率平均核，或不核条件便调用L1核的卷积估计。频域定义避免了这种误用。

推论与应用

这是一种具体的频率截止正则化，与谱正则化共享“偏差下降、噪声放大上升”的选择问题。本页额外确定了投影几何对应的√K常数；抽象逆问题中的奇异值预算不能不加换算地搬到另一种数据范数。

实现一个有限扫描版本时，通常对M个角度各用L个探测器读数，做一维变换、乘截止斜坡、逆变换，再在Q个图像位置插值回投影。若L支持FFT，每次局部插值取固定数量节点，则算术成本为 $O(ML\log L+MQ)$ ，保存全部中间数据和输出用 $O(ML+Q)$ 空间。这个计数以已有角度和探测器网格为输入；固定精度算术、FFT周期化、边缘补零和插值规则都须另外说明。

有限角网格尤其不能只凭式(5)获得误差：不同连续图像可能在全部已测角度完全相同。要从有限数组得到连续证书，还需要函数类、角度规则和探测器尾界等额外信息。这里的重建终点用完整解析投影及明确Y范数噪声，交付可复算的连续模型证书，并给有限角拒绝例。

参考资料

Matthias Beckmann，Computer Tomography，2023-12-04，§3.2 Theorem3.3，印页20；§4.1低通滤波定义与近似反演，印页27–28。其角频率及归一化回投影与本页不同，正文从面积元重新导出系数。准确√K范数、薄环带尖锐性、正交误差及高斯预算均在本页直接计算。

形式陈述 ​

先固定全部归一化 ​

截止后的输入、输出与误差 ​

斜坡来自面积元 ​

为什么噪声范数是√K，不是K ​

上界确实不能缩小 ​

截止也会删掉真信号 ​

可以怎样选择K ​

实空间核仍不是局部平均 ​

反向链接