Bohr–Mollerup 定理：阶乘延拓的唯一性

递推把每个长度为1的区间搬到后面的区间，却没有告诉你第一个区间内部该怎样填值。凸性要求相邻区间的弦斜率有序。当区间被搬到很远处，相邻整数的已知斜率 $\log (n-1)$ 与 $\log n$ 越来越接近，未知曲线便被夹到唯一位置。

Gamma确实满足形状条件 ​

正性、归一化和递推已由积分证明。对 $x,y>0$ 和 $0<\theta <1$，把被积函数写成

使用指数为 $1/(1-\theta )$ 与 $1/\theta$ 的Hölder不等式理路Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。，得到

端点权重时等式成立，所以 $\log \mathrm{\Gamma }$ 凸。这里用的是整个积分的可积性，不是对被积函数的图像作目测。

相邻整数怎样夹住一个非整数值 ​

写 $g=\log F$。递推与归一化给 $F(n)=(n-1)!$。凸函数的弦斜率递增，因此对整数 $n\ge 2$、$0<x\le 1$，

将不等式指数化，再使用

得到完全显式的包围

同一包围也适用于Gamma。两个端点之比为

所以 $F(x)/\mathrm{\Gamma }(x)$ 被夹在这个比值及其倒数之间，只能等于1。最后用递推把 $(0,1]$ 的唯一性传到全部正实数；证明没有把存在性或夹逼极限先当成结论。

递推保留了哪些错误答案 ​

令

它正、光滑，满足同样的递推，并在所有正整数上与Gamma相同，但不是Gamma。例如 $\tilde{\mathrm{\Gamma }}(5/4)=e\mathrm{\Gamma }(5/4)$。

还能直接看出凸性失败。式(1)取 $n=2,x=1/4$，给 $\mathrm{\Gamma }(1/4)\ge 16/5$，因此 $\mathrm{\Gamma }(5/4)\ge 4/5$，从而 $\tilde{\mathrm{\Gamma }}(5/4)>1$。而 $\tilde{\mathrm{\Gamma }}(1)=\tilde{\mathrm{\Gamma }}(2)=1$；若其对数凸，区间 $[1,2]$ 的内点值应不超过1，矛盾。

归一化也不可省：$c\mathrm{\Gamma }(x)$、$c>0$ 仍正、对数凸且满足递推。定理刻画正实轴上的正函数，不直接给复平面函数的唯一性；复解析延拓需要自己的正则性条件。

式(1)既证明唯一性，也给一个有界误差的计算过程。对 $0<x\le 1$，使用 $U_n$ 近似Gamma时

右侧仅含已知的 $x,n$。若需相对误差至多 $\eta$，先选满足此不等式的 $n$；这比观察相邻近似值相近更可靠。

计算乘积需要 $O(n)$ 次标量运算；可累加对数避免阶乘和分母各自溢出。但这只是算术工作量，任意精度位复杂度及舍入仍须另计。浮点计算的两个端点也可能向内舍入，真正的数值包围应保留有向舍入，或在适用的有理、根式参数上使用精确区间。该夹逼通常收敛较慢，主要价值是透明的存在性与验证接口。

对于 $x>1$，先写 $x=r+k$、$0<r\le 1$，用递推的有限正乘积把式(1)搬回 $x$。这保留相对区间宽度，不需要从一个很大的阶乘重新积分。