Gamma 反射公式与钥匙孔围道

Gamma递推连接相差一个整数的两个输入；反射公式连接 $z$ 与 $1-z$ 。它把两个特殊函数值的乘积化成三角函数，同时给出一类两端都需检查的反常积分。

形式陈述

对 $z\in\mathbb C\setminus\mathbb Z$ ，有

\boxed{\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac\pi{\sin(\pi z)}}. \tag{1}

这里使用Gamma函数的亚纯延拓。整数处两边有极点，不把式(1)解释为两个有限数相等；它也可表述为亚纯函数恒等式。

在最初的积分区域 $0<\Re z<1$ ，公式等价于

I(z):=\int_0^\infty\frac{x^{z-1}}{1+x}dx =\frac\pi{\sin(\pi z)}. \tag{2}

因为Beta–Gamma积分关系给 $I(z)=B(z,1-z)=\Gamma(z)\Gamma(1-z)$ 。零端的绝对值约为 $x^{\Re z-1}$ ，远端约为 $x^{\Re z-2}$ ，因此两个严格不等式分别来自两端。

直觉

沿正实轴的上侧和下侧走同一段距离，看起来路径几乎重合，却不能直接相消：复幂在绕原点一周后多出一个相位因子。钥匙孔围道正是把这个相位差换成一个可算的留数。

在割去非负实轴的平面上，取 $0<\arg w<2\pi$ ，令

F_z(w)=\frac{\exp((z-1)(\log|w|+i\arg w))}{1+w}.

固定 $0<\Re z<1$ ，取 $0<\rho<1<R$ 。路径从正实轴上侧的 $\rho$ 走到 $R$ ，沿外圆逆时针一周，再从下侧 $R$ 返回 $\rho$ ，最后沿内圆顺时针闭合。严格地可让两条射线先离割线一个小角度，再取角度趋零。

域内只有简单极点 $w=-1$ ，其留数为 $e^{i\pi(z-1)}$ 。由留数定理，回路积分等于

2\pi i e^{i\pi(z-1)}. \tag{3}

上侧幂值为 $x^{z-1}$ ；下侧幂值为 $e^{2\pi iz}x^{z-1}$ ，且下侧方向相反。两条直线段的总和因此是

(1-e^{2\pi iz})\int_\rho^R\frac{x^{z-1}}{1+x}dx.

写 $\sigma=\Re z,\tau=\Im z$ ，在本分支有

|w^{z-1}|\le e^{2\pi|\tau|}|w|^{\sigma-1}.

外圆弧积分的模不超过

\frac{2\pi e^{2\pi|\tau|}R^\sigma}{R-1}\longrightarrow0,

内圆则不超过

\frac{2\pi e^{2\pi|\tau|}\rho^\sigma}{1-\rho}\longrightarrow0.

前一个极限需要 $\sigma<1$ ，后一个需要 $\sigma>0$ ，恰好复现积分的两个端点条件。令 $R\to\infty,\rho\downarrow0$ ，将式(3)除以

1-e^{2\pi iz}=-2ie^{\pi iz}\sin(\pi z)

即得式(2)，连同Beta关系证明式(1)于初始条带。

例子与边界

取 $z=1/3$ ，得到

\Gamma(1/3)\Gamma(2/3)=\frac{2\pi}{\sqrt3}, \qquad \int_0^\infty\frac{x^{-2/3}}{1+x}dx=\frac{2\pi}{\sqrt3}.

这没有分别把两个Gamma值写成初等常数，只把它们的乘积确定下来。取 $z=1/2$ 则回到 $\Gamma(1/2)^2=\pi$ ；正实轴的正性才决定平方根的正号。

取 $z=3/2$ 时，式(1)仍成立，左边为 $(\sqrt\pi/2)(-2\sqrt\pi)=-\pi$ 。但式(2)中的正实积分在无穷端发散，不能把它“算成” $-\pi$ 。公式的延拓区域与某个积分表示的收敛区域并不相同。

当实数 $z\downarrow0$ ，右端像 $1/z$ 一样增长；原积分的零端同时接近 $1/x$ 的临界发散。边界极点在这里有具体的积分来源，不是绘图软件的异常尖峰。

推论与应用

Gamma递推给

\Gamma(z+1)\Gamma(-z)=-\Gamma(z)\Gamma(1-z),

而 $\sin(\pi(z+1))=-\sin(\pi z)$ ，因此式(1)可以逐次向左右平移。实部非整数的点都能平移到初始条带；实部为整数但虚部非零的点，再由邻近点的连续性得到。真正的实整数保留为极点，不在有限值公式内。

反射式还证明Gamma在其有限定义点没有零点：非整数处右端非零且两因子有限，所以任何一个都不为零；正整数处是阶乘，也非零。因而 $1/\Gamma$ 可在各非正整数补值0，成为整函数，并在那里有简单零点。这解释了组合转移公式中Gamma分母消失的机制，而不是把“除以无穷”当普通运算。

积分与求和终点要求保留分支因子和两条弧界，再为实积分给独立截断界。缺少任何一项，都不足以从一个回路积分得到原来的无穷实积分。

参考资料

NIST DLMF，§5.5(ii)，式5.5.3：反射恒等式；§5.12，式5.12.1与5.12.3：初始积分区域。
Andrew V. Sutherland，MIT 18.785，2021，Lecture 17, Theorem 17.13，印页4–5：反射公式与复延拓背景。本文采用另写的钥匙孔证明，显式保留两端弧估计。