Mellin 变换：收敛带与乘法尺度

Fourier变换把平移变成相位；Mellin变换把缩放变成幂因子。要使用它，首先不能只抄一个变换公式，还要说明零端和无穷端共同允许哪些复参数。

形式陈述

设 $f:(0,\infty)\to\mathbb C$ 在每个紧子区间上Riemann可积。若加权积分绝对收敛，定义

\mathcal Mf(s)=\int_0^\infty x^{s-1}f(x)\,dx, \qquad x^{s-1}=e^{(s-1)\log x}. \tag{1}

写复参数 $s=\sigma+i\tau$ ，绝对收敛只取决于

\int_0^\infty x^{\sigma-1}|f(x)|dx<\infty.

若它对开区间 $a<\sigma<b$ 中的每个实数成立，就得到竖直收敛条带 $a<\Re s<b$ ；若这个开区间最大，常称基本带。边界线上可能有不同情况，不能自动包含进去；也不保证每个函数都有非空基本带。

特别地，若 $f(x)=O(x^\alpha)$ 于 $x\downarrow0$ 、 $f(x)=O(x^\beta)$ 于 $x\to\infty$ ，则

-\alpha<\Re s<-\beta \tag{2}

是一个充分的收敛范围，只要该区间非空。大O上界不总能证明这是最大范围。

直觉

令 $x=e^u$ ，则 $dx=e^u du$ ，式(1)成为

\mathcal Mf(c+i\tau)=\int_{\mathbb R}e^{cu}f(e^u)e^{i\tau u}du. \tag{3}

乘法尺度在 $u=\log x$ 中变成加法距离。实部 $c$ 给对数坐标中的函数加一个指数权，虚部 $\tau$ 再测量它的振荡频率。选择竖线，就是选择哪一个加权函数真正可积。

与库内Fourier约定对齐

定义 $g_c(u)=e^{cu}f(e^u)$ 。本库Fourier变换用指数 $e^{-2\pi i u\xi}$ ，因此

\mathcal Mf(c+i\tau)=\widehat g_c\!\left(-\frac\tau{2\pi}\right).

若 $g_c\in L^1(\mathbb R)$ 且 $\tau\mapsto\mathcal Mf(c+i\tau)$ 也可积，则在 $f$ 的连续点有

f(x)=\frac{x^{-c}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal Mf(c+i\tau)e^{-i\tau\log x}d\tau =\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}x^{-s}\mathcal Mf(s)ds. \tag{4}

这是Fourier逆变换换坐标后的结论。负号、 $2\pi$ 和 $ds=i\,d\tau$ 都须一起变换；只改名称会产生归一化错误。本页用双侧绝对可积的充分条件，不把它声称为最弱逆变换定理。

条带内部为什么全纯

在较窄闭条带上，取左右各留一点余量的两个实部。零端用较小实部的可积权控制，无穷端用较大实部控制； $(\log x)^k$ 可由这点幂次余量吸收。控制收敛定理于是允许在积分内对 $s$ 求导，得到全纯性。边界没有这份余量，需重新判断。

例子与边界

两个完整变换，而不是无条件表格

对 $f(x)=e^{-x}$ ，定义直接给Gamma函数

\mathcal Mf(s)=\Gamma(s),\qquad\Re s>0.

指数尾没有给实部上界，零端却仍要求正实部。

对 $f(x)=1/(1+x)$ ，反射积分给

\mathcal Mf(s)=\frac\pi{\sin(\pi s)},\qquad0<\Re s<1. \tag{5}

这是准确的绝对收敛带：在零端与 $x^{\sigma-1}$ 比较，在无穷端与 $x^{\sigma-2}$ 比较。实参数 $s=0$ 或 $s=1$ 时，相应端出现对数发散。

两条边界上的非零虚参数也没有普通条件积分。在零端 $s=i\tau$ 时，主项积分含 $\delta^{i\tau}/(i\tau)$ ，随 $\delta\downarrow0$ 不取极限；减去主项后的差可积。无穷端 $s=1+i\tau$ 同理出现 $R^{i\tau}/(i\tau)$ 。所以不能用振荡为这两条边界自动“补上收敛”。

常数函数1则没有任何绝对收敛带：零端要求 $\sigma>0$ ，远端要求 $\sigma<0$ ，两者不相交。它若以广义变换处理，已经换了函数空间。

推论与应用

缩放只改变一个幂因子

对 $a>0$ ，令 $y=ax$ ，在共同收敛范围内

\mathcal M[f(a\cdot)](s)=a^{-s}\mathcal Mf(s), \qquad \mathcal M[x^\lambda f(x)](s)=\mathcal Mf(s+\lambda).

第二式也必须平移收敛带。因子虽然简单，定义域并不会原地不动。

一条有显式尾界的逆积分

式(5)取 $c=1/2$ ，因为 $\sin(\pi(1/2+i\tau))=\cosh(\pi\tau)$ ，变换沿竖线指数衰减，满足式(4)的额外可积条件。配对正负频率后得到

\frac1{1+x}=x^{-1/2}\int_0^\infty \frac{\cos(\tau\log x)}{\cosh(\pi\tau)}d\tau.

将上限截为 $T>0$ ，利用 $1/\cosh(\pi\tau)\le2e^{-\pi\tau}$ ，遗漏量严格受控：

\left|\frac1{1+x}-x^{-1/2}\int_0^T \frac{\cos(\tau\log x)}{\cosh(\pi\tau)}d\tau\right| \le\frac{2x^{-1/2}}\pi e^{-\pi T}. \tag{6}

这只控制频率尾。若有限积分由求积程序计算，还须加上求积误差； $x$ 趋零时前因子增大，也不能声称同一 $T$ 在整个正半轴上给共同绝对误差。

参考资料

NIST DLMF，§1.14(iv)，式1.14.32–1.14.35：定义、收敛带与逆变换条件；§2.5(i)，Mellin方法的解析背景。
Andrew V. Sutherland，MIT 18.785，2021，Lecture 17, Definition 17.11，印页4：绝对收敛带上的全纯性。本文显式对齐库内Fourier规范，并独立推导式(6)。

形式陈述 ​

与库内Fourier约定对齐 ​

条带内部为什么全纯 ​

两个完整变换，而不是无条件表格 ​

缩放只改变一个幂因子 ​

一条有显式尾界的逆积分 ​