三个任务，都先说明删掉了什么 ​

本单元从反常积分理路反常积分：分别截断与尾部收敛Improper integral · 广义 Riemann 积分把无穷区间或奇异端点的积分定义为有限截断的极限，区分绝对收敛、条件收敛与主值，并以尾部界给实际截断证书。进入Gamma函数理路Gamma 函数：递推、延拓与极点Gamma function · 伽马函数 · Euler gamma function从Euler积分的收敛半平面构造Gamma函数，证明递推与阶乘取值，逐步延拓并计算非正整数极点和可核验的截断界。与Beta函数理路Beta 函数：两个端点与归一化积分Beta function · Euler beta integral · 贝塔函数定义两参数端点积分，以总量和比例的Jacobian换元证明Beta–Gamma恒等式，并追踪参数范围、递推与有理核积分。。Bohr–Mollerup定理理路Bohr–Mollerup 定理：阶乘延拓的唯一性Bohr–Mollerup theorem · Bohr-Mollerup theorem以正性、阶乘递推、归一化和对数凸性唯一刻画Gamma函数，用相邻整数的弦斜率给出可计算夹逼，并排除周期扰动。解释正实Gamma为何不只是任意的阶乘插值；反射公式理路Gamma 反射公式与钥匙孔围道Gamma reflection formula · Euler reflection formula · Euler 反射公式证明Gamma在z和1−z处的乘积等于π除以sinπz，明确幂分支、围道方向、两端圆弧误差和整数极点边界。负责一个可算的奇异积分，Mellin变换理路Mellin 变换：收敛带与乘法尺度Mellin transform · 梅林变换用幂权测量正半轴上的尺度，确定绝对收敛条带，通过对数坐标归结到Fourier逆变换，并给出一条可认证的逆积分截断。负责尺度与收敛带，Bernoulli周期核理路Bernoulli 多项式与周期余项核Bernoulli polynomials · Bernoulli numbers · 伯努利多项式 · 伯努利数由生成函数构造Bernoulli多项式，证明导数、差分和端点规范，区分B₁符号约定，并以周期延拓构造求和误差核。和Euler–Maclaurin公式理路Euler–Maclaurin 公式与求和余项Euler–Maclaurin formula · Euler-Maclaurin summation formula · 欧拉–麦克劳林公式以周期Bernoulli核精确连接离散和与积分，证明有限光滑性下的余项，并给平方倒数尾和的有符号有理证书和梯形修正。负责离散尾和。

终点需要交付等式、适用范围和截断证书。高精度计算用于复核；公式成立与误差界本身由各页证明承担。

任务一：两个端点分别过关，再算积分 ​

计算

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2/3}}{1+x}dx.$$

先将它识别为 $B(1/3,2/3)$。零端指数为 $-2/3>-1$，远端指数为 $-5/3<-1$，所以两个端点都绝对可积。Beta–Gamma关系与反射公式给

$$I=\mathrm{\Gamma }(1/3)\mathrm{\Gamma }(2/3)=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}.$$

若用钥匙孔证明，必须同时交出：$0<\arg w<2\pi$ 的分支；下侧多出的 $e^{2\pi i/3}$；负实点 $-1$ 的留数；零端与远端圆弧分别消失的界。只列一个留数不等于证明这个实积分。

独立截断也可验证。对 $0<\delta <1<R$，

$$0\le I-{\int }_{\delta }^R\frac{x^{-2/3}}{1+x}dx\le 3{\delta }^{1/3}+\frac{3}{2}{R}^{-2/3}.$$

取 $\delta ={10}^{-18},R={10}^{12}$，右侧为 $3.015\times {10}^{-6}$。这是两段遗漏面积的界，还没有包含有限区间求积误差。

更好的计算变量是 $x=u^3$：

$$I=3{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{du}{1+u^3},0\le I-3{\int }_0^U\frac{du}{1+u^3}\le \frac{3}{2U^2}.$$

零端奇性消失，有限积分更容易处理。迁移到 $x^{a-1}/(1+x)$ 时先重新检查 $0<a<1$；例如 $a=3/2$ 不再收敛，不能把延拓值 $-\pi$ 写成正实积分。

补一个唯一性检查：$\mathrm{\Gamma }(x)e^{\sin 2\pi x}$ 也满足阶乘递推并通过全部整数样本，但它的对数不凸。说明这一失败怎样被 $x=5/4$ 的弦不等式检出，便能区分“某种插值”与本单元实际使用的Gamma函数。

任务二：给出一条收敛带和有限频率证书 ​

对 $f(x)=1/(1+x)$，应交出

$$\mathcal{M}f(s)=\frac{\pi }{\sin \pi s},0<\mathrm{Re}s<1.$$

零端与无穷端分别给左、右边界。实边界参数出现对数发散；边界上的非零虚参数会留下不取极限的 ${\delta }^{i\tau }$ 或 $R^{i\tau }$，也没有普通反常积分。不能将右端的亚纯延拓当成原变换积分的延伸定义。

选 $\mathrm{Re}s=1/2$ 后，竖线上的变换为 $\pi /\cosh \left(\pi \tau \right)$，因而Fourier逆变换的可积条件成立。对每个 $x>0$，

$$f_T(x)=x^{-1/2}{\int }_0^T\frac{\cos (\tau \log x)}{\cosh \left(\pi \tau \right)}d\tau$$

满足

$$|f(x)-f_T(x)|\le E_T(x):=\frac{2x^{-1/2}}{\pi }{e}^{-\pi T}.$$

在 $x=1/4,1,4$、$T=4,8$ 上分别复算这个不等式，并保留每个点自己的前因子。若要求整个区间 $x\in [1/4,4]$ 的共同尾界，可以取 $4e^{-\pi T}/\pi$；不能把它推广到包含零的区间。

若改为 $f(ax)$、$a>0$，变换乘 $a^{-s}$。若乘上 $x^{\lambda }$，则把变换参数改成 $s+\lambda$，收敛带也平移。完成这一变体时，应连同参数范围一起交付。

任务三：不用预知闭式，包住平方倒数和 ​

记

$$S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2},A_N=\frac{1}{N}+\frac{1}{2N^2}+\frac{1}{6N^3}.$$

Euler–Maclaurin余项的精确核是

$$B_4-B_4(\{x\})=-\{x{\}}^2(1-\{x\}{)}^2\in [-1/16,0].$$

结合 $d^4(x^{-2})/d{x}^4=120x^{-6}$，得到

$$L_N:=\sum _{k=1}^{N-1}\frac{1}{k^2}+A_N-\frac{1}{16N^5}\le S\le U_N:=\sum _{k=1}^{N-1}\frac{1}{k^2}+A_N.$$

所有量都是精确有理数。取 $N=100$，只加99项便得到宽度 $6.25\times {10}^{-12}$ 的区间。证书应保存两个分数和它们的差；小数显示如需作为包围，应向外舍入，不能直接使用最近舍入后继续声称端点仍有效。

本任务不需要知道 $S$ 的闭式。核验程序可以用另一个高精度实现作交叉检查，但有限程序通过不是无穷级数证明的替代。将N改为20或200，只须重算前缀、尾式和 $1/(16N^5)$；若改求立方倒数和，则必须重新计算四阶导数与尾积分，不能沿用同一个常数。

故意删掉负号，让余项核变成非负，会得到错误的下界。用 $f(x)=x^4$、区间 $[0,1]$ 的精确余项 $R_1=-1/30$ 检出这个错误，再用真实尾和与 $A_N$ 的方向作第二个检查。

下载与核验范围 ​

• 完整复算脚本
• 确定性检查结果

运行 python foundations-integral-sum-certificates.py，需要Python与mpmath。Bernoulli递推、多项式恒等式、有限Euler–Maclaurin余项以及有理包围端点使用标准库Fraction精确计算；特殊函数和积分的交叉复算采用70位精度，数值容差在脚本中明示。程序不把普通高精度求积包装成带有向舍入的严格区间算法。

实际可迁移的工作顺序是：先判定对象存在的参数范围；再推导变换或求和恒等式；明确被删掉的端点、频率或离散尾；最后将解析余项界与有限计算误差分别列出。