Bernoulli 多项式与周期余项核

普通积分只确定原函数到一个常数。式(3)每次都把这个常数调到“一个单元内平均为零”，这样周期复制后不会凭空加入固定偏置。式(2)则说明它对导数和单位步差分各保留一种简洁结构。

从同一个生成函数推导三条规则 ​

对式(1)求 $x$ 导数，右端系数整体乘 $t$，比较同次项即得导数式。把 $x$ 换成 $x+1$ 后相减，左端变成 $t{e}^{xt}$，比较系数得到差分式。

在 $x\in [0,1]$ 上逐项积分理路Riemann 积分Riemann integral上下和或分割和在网格细化下共同收敛所定义的积分。，左端为1，故除常数项外的均值全为零。这里固定 $|t|<2\pi$ 的较小闭圆盘后，级数在紧区间上一致收敛，才可逐项积分。

将 $x$ 换成 $1-x$、$t$ 换成 $-t$，得到

差分式在 $x=0$ 又给 $B_n(1)=B_n(0)$（$n\ne 1$）。两者合并，所有奇数 $n\ge 3$ 的 $B_n$ 都为0；$n=1$ 例外，两个端点分别为 $-1/2$ 与 $1/2$。

精确生成系数，而非记一张表 ​

由 $[t/(e^t-1)](e^t-1)=t$ 比较系数，得到

因此可逐项算出 $B_1=-1/2,B_2=1/6,B_3=0,B_4=-1/30$，再用

恢复多项式。计算到阶 $N$ 需要 $O(N^2)$ 次有理数乘加；分子分母的位数会增长，这个计数不是固定机器字的位复杂度保证。

周期化只复制单元，不能抹去接缝 ​

记 $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$，定义 ${\tilde{B}}_n(x)=B_n(\{x\})$。当 $n\ge 2$ 时，两个端点值相等，所以周期函数连续；${\tilde{B}}_1$ 则在整数处跳跃。每个开整数单元内仍满足导数规则，跨接缝分部积分时必须逐单元记边界项。

特别地

所以

这些是整段解析界，因为 $0\le u(1-u)\le 1/4$；不是在有限网格上观察到的最大值。它们会直接控制求和余项的大小和符号。

另一些文献采用第一Bernoulli数 $+1/2$ 的记号。不能仅替换一个符号而保留式(1)和相同求和端点；本页的生成函数已经固定了约定。

差分式使 $B_{p+1}(x)/(p+1)$ 成为 $x^p$ 的离散原函数理路有限差分的离散微积分Calculus of finite differences · Newton forward expansion · 前向差分算子用前向差分恢复多项式、判定整数格上的次数，并通过二项式基求离散原函数和幂和。，从而

例如 $p=1$ 给 $N(N-1)/2$，核对的是左闭右开求和；改成1到N必须改端点。旧有限差分页用二项式基解决一般多项式求和，这里不另提供重复的幂和算法。

本页新的接口在周期核。Euler–Maclaurin公式理路Euler–Maclaurin 公式与求和余项Euler–Maclaurin formula · Euler-Maclaurin summation formula · 欧拉–麦克劳林公式以周期Bernoulli核精确连接离散和与积分，证明有限光滑性下的余项，并给平方倒数尾和的有符号有理证书和梯形修正。逐单元使用式(2)，让内部端点抵消，剩下有限端点导数差与一个准确积分余项。B₁的跳跃贡献采样值，较高阶的端点匹配让过程继续，式(5)再把余项转成证书。