Riemann–Liouville分数阶积分

积分两次可以合成一个权重为t−s的积分；积分三次，权重变成(t−s)²/2。既然整数次数已经藏在核的幂与阶乘中，就可以让次数取正实数。不过这样得到的算子首先是带记忆的积分，不是把普通导数符号的整数任意改成小数。

形式陈述

固定从零开始记忆

给定有限T>0和实数α>0。对 $f\in L^1(0,T)$ ，定义

(I^\alpha f)(t)=\frac1{\Gamma(\alpha)} \int_0^t(t-s)^{\alpha-1}f(s)ds \quad\text{对几乎处处的 }t\in(0,T). \tag{1}

这里 $\Gamma$ 是正实轴上的Gamma函数，积分采用Lebesgue意义，函数按几乎处处相等识别。它仍在L1中，并且

\|I^\alpha f\|_1\le\frac{T^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}\|f\|_1. \tag{2}

不能仅凭f可积就保证式(1)在每个点有限。

若f在[0,T]连续，则式(1)在每个t>0存在，并有连续延拓 $I^\alpha f(0)=0$ ，满足

|(I^\alpha f)(t)|\le\frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}\|f\|_\infty. \tag{3}

对于0<α<1，还成立显式的Hölder估计

|I^\alpha f(t+h)-I^\alpha f(t)| \le\frac{2\|f\|_\infty}{\Gamma(1+\alpha)}h^\alpha \quad(0\le t<t+h\le T). \tag{4}

这没有宣称输出必定绝对连续或有连续普通导数。

阶数可以相加

对α,β>0，

I^\alpha I^\beta f=I^{\alpha+\beta}f=I^\beta I^\alpha f. \tag{5}

对L1输入，等式按几乎处处理解；对连续输入，它处处成立。另行约定 $I^0$ 是恒等算子，不能把α=0直接代入含Γ(α)和不可积核的式(1)。

对p>−1和t>0，

I^\alpha(t^p)=\frac{\Gamma(p+1)}{\Gamma(p+\alpha+1)}t^{p+\alpha}. \tag{6}

若记 $\phi_p(t)=t^p/\Gamma(p+1)$ ，它简化成 $I^\alpha\phi_p=\phi_{p+\alpha}$ 。允许p<0是一个L1输入的扩展，不表示它在零点连续。

直觉

非整数次积分仍是因果卷积

令 $g_\alpha(r)=r^{\alpha-1}/\Gamma(\alpha)$ （r>0）。在有限窗中将它截在(0,T)，并把f在窗外补零，式(1)正好是连续变量卷积在(0,T)上的限制。所以它是因果卷积的一个具体幂核实例。截断后的核有有限L1质量；不需要错误地声称未截断的幂核在整个正半轴上可积。

α=1时核为1，只累计总量。α=2时核为t−s，过去的输入已经被后续累计过更久。0<α<1时核在最近的过去变大，但局部面积有限；这就是弱奇异，既不允许直接在s=t取一个有限核值，也不会自动令整个积分发散。

两个端点条件怎样证明半群

先对非负绝对值使用Tonelli定理，有

\int_0^T\!\int_0^t \frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}|f(s)|dsdt =\int_0^T\frac{(T-s)^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}|f(s)|ds.

这证明式(2)，也说明定义几乎处处有限。复合时，在0<s<r<t上出现

\frac1{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_s^t(t-r)^{\alpha-1}(r-s)^{\beta-1}dr.

令r=s+(t−s)v，内层变成

\frac{(t-s)^{\alpha+\beta-1}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} B(\beta,\alpha) =\frac{(t-s)^{\alpha+\beta-1}}{\Gamma(\alpha+\beta)}.

两个参数都为正，才满足Beta积分的双端收敛条件。对t再积分的总绝对质量，由式(2)的同一估计控制，所以Fubini定理允许给有符号f换序，得到式(5)。连续输入时总绝对积分在每个固定t也有限，故可逐点使用。

同样令s=tv，把幂函数代入式(1)，得到 $t^{p+\alpha}B(p+1,\alpha)/\Gamma(\alpha)$ ，即式(6)。其中p>−1检查s=0，α>0检查s=t，二者不能互相替代。

连续性与Hölder常数不靠微分奇异核

对0<α<1，幂核随正距离递减。把两个积分分成共同的[0,t]和新增的[t,t+h]，取绝对值后得到

\frac{\|f\|_\infty}{\Gamma(1+\alpha)} \{t^\alpha-(t+h)^\alpha+2h^\alpha\} \le\frac{2\|f\|_\infty}{\Gamma(1+\alpha)}h^\alpha.

这一证明甚至只要求f有界可测。α=1时由积分直接给Lipschitz界。α>1时先用式(5)写成 $I^1I^{\alpha-1}f$ ；内层属于L1，外层连续且零点取零。于是全部正阶数都保留了式(3)的连续接口，没有对一个在积分端点无界的核强行逐项求导。

例子与边界

半积分两次是一次，但常数不能漏

取f(t)=1+t。利用Γ(1/2)=√π，

I^{1/2}f(t)=\frac2{\sqrt\pi}t^{1/2} +\frac4{3\sqrt\pi}t^{3/2},

再作半积分得到

I^{1/2}I^{1/2}f(t)=t+t^2/2=I^1f(t).

若把每次半积分的 $1/\sqrt\pi$ 漏掉，复合结果多一个π。这个检查同时检测阶数、幂和归一化，远比只在一个点比较小数更有辨识力。

已有Abel径向反演采用右端积分 $\mathcal A Q(t)=\int_t^L Q(s)/\sqrt{s-t}\,ds$ ，且没有Gamma因子。令q(r)=Q(L−r)，则

(\mathcal A Q)(L-r)=\sqrt\pi\,I^{1/2}q(r). \tag{7}

时间反向与√π都不可省；旧页的两次复合π倍普通积分正好与式(5)吻合。新页不改变旧径向坐标及其反演负号。

零点迹与可积输入是两种接口

连续f总给 $I^\alpha f(0)=0$ ，所以常数1不在 $I^\alpha:C[0,T]\to C[0,T]$ 的像中。但当0<α<1时，可积的奇异输入

f(t)=\frac{t^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}

却满足 $I^\alpha f(t)=1$ 对每个t>0。它在零点没有连续输入接口；在式(1)空区间处机械填0也不会消掉右极限1。讨论初始值前，必须先说使用哪一种函数类。

单点发散也可能发生。给 $\alpha=1/4$ 、 $f(s)=(1-s)^{-1/2}$ ，0<s<1。f属于L1，但在t=1的核乘积为 $(1-s)^{-5/4}$ ，积分无限。这不违反式(2)，因为L1结论允许零测集上的例外。

半群的参数是阶数，不是经过的时间

式(5)只说从同一个零点开始的两个积分可以复合。若t>a>0，

I^\alpha f(t)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_0^a(t-s)^{\alpha-1}f(s)ds +\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_a^t(t-s)^{\alpha-1}f(s)ds. \tag{8}

第一项随未来t继续变化。即使知道 $I^\alpha f(a)$ ，通常也不能用这个单数替代整段旧输入。以α=1/2、f=1为例，两段各自从零累计再相加会给 $2(\sqrt a+\sqrt{t-a})/\sqrt\pi$ ，而原值为 $2\sqrt t/\sqrt\pi$ ；a=1、t=4时二者明显不同。

推论与应用

在适当空间上可以确实撤销积分

当0<α<1且f∈L1，式(5)给 $I^{1-\alpha}I^\alpha f=I^1f$ 。后者绝对连续，其几乎处处导数为f。因此

\frac d{dt}I^{1-\alpha}I^\alpha f=f\quad\text{几乎处处}. \tag{9}

对于连续f，微积分基本定理使最后一步逐点成立。特别地Iα在L1上单射：若Iαf=0，先再积分到一阶，然后对原函数求导，得f=0。

反方向不自动是恒等。先取一个一般函数、作分数阶导数、再积分，会受到初始迹约束；Caputo初值接口明确保留了这份常数。积分的半群也不能直接转写成Caputo导数的半群。

有限幂和给出完全符号化的接口

若输入为 $\sum_{j=1}^m c_j\phi_{p_j}$ ，所有p_j>−1，则分数阶积分只需把每个p_j加α，系数c_j不变。表达式生成需要O(m)次指数加法和记录操作，数值求值还须计Gamma与实幂的精度成本。两个指数相同的项可合并；输入不是有限幂和时，这不是一个通用的有限求积算法。

分数阶记忆终点用这套归一化坐标核半积分复合、非零初始常数和时间重启。它把“阶数相加成立”与“过去可丢弃”分成两个要独立回答的问题。

参考资料

Francesco Mainardi，A Tutorial on the Basic Special Functions of Fractional Calculus，2020，§2，式(2.1)–(2.3)：积分、阶数半群与幂函数。本文另外明确有限窗L1/连续接口，并直接证明Hölder常数和零点例外。
Francesco Mainardi，Abel Integral Equations: An Introduction via Laplace Transform and Fractional Calculus，第五版，2012，印页3–4，式(1.7)–(1.10)：归一化幂核及弱奇异边界。式(7)为本文与现有右侧Abel约定的显式转换。

形式陈述 ​

固定从零开始记忆 ​

阶数可以相加 ​

非整数次积分仍是因果卷积 ​

两个端点条件怎样证明半群 ​

连续性与Hölder常数不靠微分奇异核 ​

半积分两次是一次，但常数不能漏 ​

零点迹与可积输入是两种接口 ​

半群的参数是阶数，不是经过的时间 ​

在适当空间上可以确实撤销积分 ​

有限幂和给出完全符号化的接口 ​

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