Mittag–Leffler 指定主部构造

减去多项式不会伤到主部 ​

多项式在每一点都全纯，只有非负次Taylor项。因此从 $P_n$减去 $Q_n$不会改变 $(z-a_n{)}^{-1},\dots ,(z-a_n{)}^{-m_n}$的任何系数。

当 $a_n$离原点很远，$P_n$在一个相当大的原点圆盘内是全纯的。可以用它在原点的Taylor多项式逼近它，把当前圆盘上的剩余压小。新的极点不断向外逃，而要求收敛的紧集始终固定；这两个尺度正好配合。

主部表只记录局部发散 ​

函数 $1/z$和 $1/z+e^z$都只有原点这一个极点，主部都为 $1/z$。相加的整函数在极点附近没有负幂，所以主部完全看不见它。认定具体函数时，除主部吻合外，还要控制这份自由度。

仅靠分组不能修好一个不趋零的主部和 ​

对正整数 $n$指定

在 $z=0$，每项都等于一。把若干项并成一组仍得到正整数，任何这样的分组都不能使级数项趋零。

减去前两个Taylor项则不同：

在 $|z|\le r$、$n>2r$时，其模至多 $2r^2/n^2$，所以

确实在避开正整数的紧集上正常收敛，且在 $n$处保留留数 $-n$。这一例明确区分“保持主部”和“让级数收敛”两项要求。

极点不能在平面内部聚集 ​

若要求一个亚纯函数在每个 $1/n$都有真正极点，则原点附近会有无穷多个极点。原点既没有全纯邻域，也没有删去中心后全纯的极点邻域，不能满足本页的亚纯定义。

一般域上的Mittag–Leffler定理允许极点趋向域边界；其证明要用适合该域的逼近工具。本页只证明整平面版本，不能把下面的原点Taylor校正直接挪到任意有洞区域。

成对主部是一种具体有效的校正 ​

函数 $\pi \cot \left(\pi z\right)$在每个整数处有简单极点、留数一。自然候选是

每对的低阶大尾互相抵消，使级数在避开整数的紧集上正常收敛。也可以分别校正 $1/(z-n)$为 $1/(z-n)+1/n$，再把正负整数成对相加。

这先证明(3)有正确主部，还没证明它等于 $\pi \cot \left(\pi z\right)$：两者仍可能相差一个整函数。下文的围道积分正是用来消去这个尚未确定的差。

Taylor校正给出的完整构造 ​

将非零极点列为 $a_1,a_2,\dots$；离散性保证 $|a_n|\to \mathrm{\infty }$。设

在 $|z|=r_n$上有 $|z-a_n|\ge |a_n|/4$，故 $|P_n(z)|\le M_n$。对 $P_n$在原点的Taylor级数应用Cauchy系数估计理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。，截到 $N_n$次的多项式 $Q_n$满足

选择足够大的整数 $N_n\ge 0$，使右侧不超过 $2^{-n}$。这是每一步都会停止的有限选择，因为 $M_n$有限而 $2/3<1$。

固定任意紧集 $K$。充分大的 $n$都有 $K\subset \{|z|\le {\rho }_n\}$，所以校正级数的尾部由 $\sum 2^{-n}$一致控制。若 $K$避开所有极点，有限头部也全纯；由全纯函数局部一致极限定理理路正规族与 Montel 定理Normal family · Montel's theorem · 局部一致收敛的全纯极限从局部有界的全纯函数族抽取极限，再用聚点上的取值识别整列极限，并证明零点重数稳定及单射极限的边界。，式(2)在该处全纯。

再固定一个极点 $a_j$，取不含其他极点的小闭圆盘。在这个圆盘上，去掉第 $j$个主部后，有限其他项全纯，足够远的尾部仍正常收敛且全纯。因此 $F-P_j$在 $a_j$附近全纯，所有负幂系数准确保留。两份这样的 $F$相减会在每个极点消去主部，奇点可去，差于是整函数。这完成存在性和自由度的证明。

若要在半径 $R$内认证有限截断，输入还应给出一个已证明的逃逸索引界 $N_0$，保证所有 $n>N_0$均满足 ${\rho }_n\ge R$。零列逃向无穷保证这种索引存在，却不单独提供从任意列的有限查询中自动认定它的算法。给定这份界后，截断到 $N\ge N_0$的误差不超过

这个界针对已经按上述规则选好的Taylor校正；不能直接套给未经校正的原始主部和。

半整数方形围道认定cot展开 ​

固定 $z\notin \mathbb{Z}$，取 $R=N+1/2>|z|$，沿顶点 $\pm R\pm iR$的正向方形 $C_N$积分

围道内整数极点为 $-N,\dots ,N$，另有 $w=z,-z$。在整数 $n$处留数为 $1/(n^2-z^2)$；在 $\pm z$处的两份留数之和为 $\pi \cot \left(\pi z\right)/z$。由留数定理理路留数定理Residue theorem闭曲线积分等于各孤立奇点的局部留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。，

因此

竖边的实部为半整数，$|\cot \left(\pi w\right)|=|\tanh \left(\pi \mathrm{Im}w\right)|\le 1$；横边由复指数表达式得 $|\cot \left(\pi w\right)|\le \coth \left(\pi R\right)<2$。围道长 $8R$，且对 $|z|\le r<R$，

令 $N\to \mathrm{\infty }$，式(4)就认定(3)确实等于 $\pi \cot \left(\pi z\right)$。这里残差趋零来自围道估计，而不是只因主部相同。

截断后给出紧集误差 ​

若 $N\ge 1$且 $N+1>r$，那么在 $|z|\le r$且 $z\notin \mathbb{Z}$处，

因为 $|z^2-n^2|\ge n^2-r^2\ge n^2(1-(r/(N+1){)}^2)$，再用 $\sum _{n>N}{n}^{-2}\le 1/N$即可。这个级数尾界比刚才用于证明恒等式的围道界更适合有限计算。

有了cot展开，就能在整函数零点分解理路Weierstrass 整函数零点分解Weierstrass factorization theorem · Weierstrass product theorem · Weierstrass整函数分解用初等因子取消发散的低阶对数项，为任意离散零点及重数构造整函数，证明同零点函数只差整指数，并以cot对数导数识别正弦乘积。中比较对数导数，认定正弦乘积。两类构造分别控制主部与零点，具体函数的识别还需要围道、导数或归一化。到零点与主部综合任务可进一步指定双阶极点与非恒定留数，并检查半整数零点的乘积迁移。