全纯函数的正常无穷乘积

有限个多项式相乘，零点来自某个因子。无限个因子相乘时，这句话可能失效：每个因子都等于二分之一，极限却处处为零。要让无限乘法保留零点信息，必须控制尾部总共离一有多远。

形式陈述

紧集上的可求和条件

设 $U\subset\mathbb C$ 是连通开集， $f_n=1+u_n$ 是其上的全纯函数，且每个 $f_n$ 都不恒为零。假设对每个紧集 $K\subset U$ ，

\sum_{n=1}^{\infty}\|u_n\|_K<\infty, \qquad \|u_n\|_K=\sup_{z\in K}|u_n(z)|. \tag{1}

这是本页采用的正常绝对乘积条件。它比仅说每一点处部分乘积收敛更强，也明确给出了统一控制。

令 $P_N(z)=\prod_{n=1}^N f_n(z)$ 。则 $P_N$ 在每个紧集上一致收敛到全纯函数 $F$ ，记作

F(z)=\prod_{n=1}^{\infty}f_n(z).

$F$ 不恒为零；在任一点 $a\in U$ ，

\boxed{\operatorname{ord}_aF=\sum_{n=1}^{\infty}\operatorname{ord}_a f_n.} \tag{2}

非零函数在该点的零点阶数记为 $\operatorname{ord}_a$ ，函数值非零时阶数为零。右侧实际上只有有限个非零项，所以无限尾部不会偷偷增加零点。

可计算的尾界

记 $S_N(K)=\sum_{n>N}\|u_n\|_K$ 。对 $z\in K$ ，有

\boxed{|F(z)-P_N(z)|\le |P_N(z)|\bigl(e^{S_N(K)}-1\bigr).} \tag{3}

若 $P_N(z)\ne0$ ，还可除以它得到相对误差界。若它等于零， $F(z)$ 也等于零，式(3)仍成立；只是不能在这个点写商。

直觉

小乘法通过对数变成小加法

对 $|w|<1$ ，定义

\ell(w)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}k w^k.

逐项求导得到 $\ell'(w)=1/(1+w)$ ，且 $\ell(0)=0$ ，所以 $e^{\ell(w)}=1+w$ 。这是一支在一附近归零的对数；不需要为整个 $U$ 选择全局复对数。

当 $|w|\le1/2$ 时，

|\ell(w)|\le\sum_{k\ge1}|w|^k\le2|w|. \tag{4}

因此只要尾部的 $u_n$ 可求和，尾部对数之和就收敛，尾积等于这个有限值的指数，必定非零。有限的前面几项可以有零点，统一的小尾部不可以。

分支问题为什么没有被忽略

一般不能直接写“复对数把任意乘积变成对数之和”，因为不同路径的辐角可能相差 $2\pi$ 。这里每个尾因子都落在 $|f_n-1|\le1/2$ ，同一个级数给出确定分支。最后使用的是 $\exp(\sum\ell(u_n))$ ，没有把它强行认作整个乘积的主值对数。

例子与边界

指数逃远的零点，尾界也指数下降

考虑

F(z)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac z{2^n}\right).

在 $|z|\le r$ 上， $\sum\|u_n\|\le r$ ，且 $S_N\le r2^{-N}$ 。所以它是整函数，零点恰为 $2,4,8,\ldots$ ，每个均为简单零点。

若取 $r=1,N=10$ ，任一点的相对截断误差至多 $e^{1/1024}-1$ 。不用近似指数，也可用 $e^s\le1/(1-s)$ （ $0\le s<1$ ）得到上界 $1/1023$ 。圆盘内没有任何因子零点，因而这里的相对误差确实有定义。

对称零点可以成对组织

乘积

B(z)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right) \tag{5}

在 $|z|\le r$ 上满足(1)，因为 $\sum n^{-2}<\infty$ 。它的零点恰为非零整数，全部简单； $B(0)=1$ 。对 $N\ge1$ ，积分比较给

S_N\le r^2\sum_{n>N}\frac1{n^2}\le\frac{r^2}{N}.

于是式(3)给出统一截断界。仅凭这些零点和 $B(0)=1$ ，尚不能断定 $B(z)=\sin(\pi z)/(\pi z)$ ；乘上 $e^{z^2}$ 仍保留同样零点、原点值和偶性。识别具体函数还需要额外信息。

因子趋于一仍然不够

在 $z=-1$ ，未经修正的乘积 $\prod_{n=1}^N(1-z/n)$ 等于 $N+1$ ，发散，尽管每个因子都趋于一。对一般紧圆盘， $\sum\|z/n\|$ 也发散，所以(1)确实没有适用。

另一方面，(1)是充分条件，不是所有收敛乘积的必要条件。常数因子 $f_n=e^{(-1)^n/n}$ 的部分乘积由交错级数收敛到非零常数，但 $\sum|f_n-1|$ 发散。本页不把条件收敛产品的任意重排或任意求导列入结论。

每个因子为 $1/2$ 的例子则更直接：所有有限乘积非零，极限却为零函数。这里尾因子甚至不趋于一，因此不能用式(2)描述它的零点。

推论与应用

一致极限和非零尾积的完整证明

固定紧集 $K$ 。从某个 $N_0$ 起，(1)保证 $\|u_n\|_K\le1/2$ ；由(4)， $\sum_{n>N_0}\ell(u_n)$ 一致收敛。于是

\prod_{n=1}^M f_n =P_{N_0}\exp\left(\sum_{n=N_0+1}^M\ell(u_n)\right)

在 $K$ 上一致收敛。任取小闭圆盘包含于 $U$ ，应用同样论证，再调用全纯函数的局部一致极限定理，得到极限全纯。

在任一点 $a$ 附近选小闭圆盘，用上式把 $F$ 写成有限头积乘以全纯指数。指数处处非零，有限头积又由不恒为零的全纯因子组成，故 $F$ 在该邻域不恒为零，其零点阶数正好是有限各阶数之和。后面的因子在这整个圆盘都非零，式(2)得证。

式(3)可以不借对数直接证明。有限尾积展开后，

\left|\prod_{n=N+1}^M(1+u_n)-1\right| \le\prod_{n=N+1}^M(1+|u_n|)-1 \le\exp\left(\sum_{n=N+1}^M|u_n|\right)-1.

乘 $|P_N|$ 并令 $M\to\infty$ 即可。这个形式还适用于头积有零点的情形。

对数导数逐项相加的条件

令 $Z=\{z\in U:F(z)=0\}$ 。在 $U\setminus Z$ 的任意紧集上，

\boxed{\frac{F'(z)}{F(z)} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_n'(z)}{f_n(z)},} \tag{6}

右侧局部一致且绝对收敛。

证明时，把所给紧集 $K$ 稍微加厚成仍在 $U$ 内的紧集 $K_\delta$ 。对每点使用半径 $\delta$ 的圆周，由Cauchy导数估计，

\|u_n'\|_K\le\delta^{-1}\|u_n\|_{K_\delta}.

尾分母 $|1+u_n|\ge1/2$ ，所以导数商的尾级数正常收敛。有限乘积满足 $P_N'/P_N=\sum_{n\le N}f_n'/f_n$ ；局部一致全纯收敛又允许求导，且 $F$ 在 $K$ 上远离零，取极限得到(6)。

例如(5)在非整数处给

\frac{B'(z)}{B(z)}=\sum_{n\ge1}\frac{2z}{z^2-n^2}.

这个式子把乘积的识别问题变成一个部分分式的识别问题。下一步的Weierstrass分解会用指数修正处理更慢逃远的零点；Mittag–Leffler构造则从主部出发组织类似的加法展开。

条件(1)也允许任意重排因子而不改变 $F$ ：先固定有限头积，使其余范数之和任意小；任何重排最终都包含这份有限头积，其余乘积仍受上面的指数尾界控制。若没有这样的绝对尾控制，就不能照搬这一结论。

参考资料

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，§8.1，Propositions8.1.2–8.1.8与Corollary8.1.9，印刷pp.196–199；§8.2，Exercise8.2.9，p.205。本页采用明确的紧集范数可求和条件，完整证明统一尾界及避零后的导数交换。

形式陈述 ​

紧集上的可求和条件 ​

可计算的尾界 ​

小乘法通过对数变成小加法 ​

分支问题为什么没有被忽略 ​

指数逃远的零点，尾界也指数下降 ​

对称零点可以成对组织 ​

因子趋于一仍然不够 ​

一致极限和非零尾积的完整证明 ​

对数导数逐项相加的条件 ​

反向链接