完成有限群卷积分块理路有限群卷积的矩阵分块Finite-group convolution blocks · Noncommutative finite Fourier transform把有限群上的卷积方程变成不可约表示上的小矩阵方程，恢复逆与全部相容解，并按块重复次数核验秩和奇异值。与支撑秩界理路有限群的支撑与秩不确定性Finite-group support-rank uncertainty · Meshulam rank-support inequality用平移基的支撑覆盖证明任意域上的稀疏度与卷积秩乘积界，再给平移不变空间的擦除恢复保证和精确秩判据。后，不只应会写变换公式，还应能把块里的答案送回原函数，区分无解、自由解以及擦除后的非唯一。下列四项任务共用

$$S_3=⟨r,s:r^3=s^2=e,srs=r^{-1}⟩,(e,r,r^2,s,rs,r^{2}s)$$

这一固定坐标顺序。所有复数变换都不除以6，逆变换才带 $1/6$。可回到路线目录。

任务一：找出三个迹完全看不见的函数 ​

输入与交付 ​

给平凡、符号、标准三份表示，标准矩阵为

$$R=\left(\begin{array}{cc}-1/2& -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right),S=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

取 $u=(0,-1,1,0,1,-1)$。交付它的全部变换块、逆变换、卷积平方与原六阶卷积矩阵的秩。再用两个点质量检查卷积方向，并回答只存三个块迹是否足够。

完整解答 ​

平凡块求全部值之和，得到0；符号块对后三项改号，仍为0。标准块逐项为

$$-R+R^2+RS-R^{2}S=\left(\begin{array}{cc}0& 2\sqrt{3}\\ 0& 0\end{array}\right).$$

因此三个迹都是零。但逆变换是

$$u(g)=\frac{1}{3}\mathrm{tr}(2\sqrt{3}{E}_{12}\rho (g^{-1})),$$

在固定六点顺序下重新得到 $(0,-1,1,0,1,-1)$。三个迹无法区别这份非零函数与零函数；完整二阶块中的非对角方向不可丢。

标准块平方为零，两个标量块也为零，所以 $u\ast u=0$。它的加权块秩为 $2\cdot 1=2$。用原坐标矩阵 $L_u(x,t)=u(x{t}^{-1})$ 消元同样得到2，不是1，也不是非零块的数量。

方向自检为

$${\delta }_r\ast {\delta }_s={\delta }_{rs},{\delta }_s\ast {\delta }_r={\delta }_{sr}={\delta }_{r^{2}s}.$$

两者不同。变换域对应 $RS$ 与 $SR$，也不相等。若程序把它们送到同一坐标，应检查群乘法约定或把输入矩阵乘法倒置的错误。

任务二：交出逆，并完整描述一个奇异方程 ​

输入与交付 ​

首先令 $a=2{\delta }_e+{\delta }_r+{\delta }_s$，求其双侧卷积逆。其次令 $q={\delta }_e-{\delta }_s$，分别求解 $q\ast h=q$ 与 $q\ast h={\delta }_e$。最后分析 $v={\delta }_e+u$：它所有特征值都是1，是否意味着其卷积算子为等距？

完整解答 ​

$a$ 的三个块是

$$4,2,A=\left(\begin{array}{cc}5/2& -\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2& 1/2\end{array}\right),\det A=2.$$

逐块求逆：前两块为 $1/4,1/2$，最后一块为

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1/4& \sqrt{3}/4\\ -\sqrt{3}/4& 5/4\end{array}\right).$$

反演得到

$$a^{-1}=\frac{1}{8}(5,-3,1,-3,1,1).$$

必须同时在原六点卷积中核 $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a={\delta }_e$。本例三个块都可逆，因而解唯一；这份证明并未假设卷积交换。

$q$ 的块为 $0,2,\mathrm{diag}(0,2)$。原坐标方程特别直接：

$$(q\ast h)(x)=h(x)-h(sx).$$

因此 $\ker L_q$ 是在三个右陪集 $\{e,s\}$、$\{r,r^{2}s\}$、$\{r^2,rs\}$ 上分别常值的空间。它的全部函数为

$$k=(\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ,\gamma ,\beta ),\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{C}.$$

由于 $q\ast q=2q$，第一条方程的全部解为

$$h=\frac{1}{2}(1,0,0,-1,0,0)+(\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ,\gamma ,\beta ).$$

这三维自由度与 $6-\mathrm{rank}{L}_q=3$ 一致。

第二条方程无解。任一 $q\ast h$ 的全部坐标和为0，而 ${\delta }_e$ 的和为1；变换域的同一个障碍是平凡块 $0\cdot F_{\mathbf{1}}(h)=1$。对于一般右端 $b$，除平凡块为零外，还必须检查标准块第一行全零。只检查“总和为零”尚不足够。

对于 $v={\delta }_e+u$，由 $u\ast u=0$ 得 $v^{-1}={\delta }_e-u$。它的标准块是

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\sqrt{3}\\ 0& 1\end{array}\right),B^{\ast }B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\sqrt{3}\\ 2\sqrt{3}& 13\end{array}\right).$$

后者的特征多项式为 ${\lambda }^2-14\lambda +1$，两个根是 $7\pm 4\sqrt{3}=(2\pm \sqrt{3}{)}^2$。所以 $L_v$ 的奇异值为

$$2+\sqrt{3},2+\sqrt{3},1,1,2-\sqrt{3},2-\sqrt{3}.$$

它不是等距，二范数条件数为 $7+4\sqrt{3}$。这里的块可以酉分块，却不能把非正规块进一步假装酉对角化。

任务三：用真实平移给支撑与秩的双证书 ​

输入与交付 ​

比较 ${\delta }_e$、$u$ 与 $1_H$，其中 $H=\{e,s\}$。对每个函数交付支撑大小、原卷积秩及加权块秩。证明一般的乘积界，说明等号是否要求子群正规，并指出两种错误的“频率数量”。

完整解答 ​

三组答案依次是

$$(a,r)=(1,6),(4,2),(2,3).$$

乘积为 $6,8,6$。${\delta }_e$ 的块是 $1,1,I_2$；$u$ 的块见任务一；$1_H={\delta }_e+{\delta }_s$ 的块是 $2,0,\mathrm{diag}(2,0)$，所以最后一份加权秩为 $1+2=3$。

在任意域中，从 $f$ 的全部右平移中取一组真实平移基 $R_{t_1}f,\dots ,R_{t_r}f$。每个基支撑都是 $A{t}_j$，大小为 $a$。若某点 $x$ 不在其并集内，每个平移的线性组合在 $x$ 都为零。选 $z\in A$ 和 $t=z^{-1}x$ 却有 $(R_{t}f)(x)=f(z)\ne 0$，矛盾。因此并集覆盖全部 $N$ 点，推出 $N\le ra$。

对 $1_H$，真实平移基可取三个互不相交右陪集的指示函数。并集大小恰为三个支撑大小之和，所以达到等号。$H$ 是 $S_3$ 中的换位子群，不正规；证明只用陪集分划，不需要把陪集乘成商群。

第一种错误是数非零不可约块：${\delta }_e$ 只有三个块，却需要总秩6。第二种错误是数某组表示基中的非零条目：非酉甚至酉换基都可能改变条目分布，而式中需要的是基无关的矩阵秩及其维数权重。有限阿贝尔群所有不可约维数为1，这时才化成普通非零Fourier系数个数。

任务四：迁移到特征二，并恢复或拒绝擦除数据 ​

输入与交付 ​

先在 ${\mathbb{F}}_2[C_2]$ 取 $f={\delta }_e+{\delta }_s$，判断支撑秩界是否失效。再在 ${\mathbb{F}}_2^{S_3}$ 取空间

$$V=\{(\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ,\gamma ,\beta ):\alpha ,\beta ,\gamma \in {\mathbb{F}}_2\}.$$

对发送词 $(1,0,1,1,1,0)$，分别擦除 $\{e\}$、$\{e,r\}$、$\{e,s\}$。最后将保留位置 $r$、$r^{2}s$ 的读数故意设为0和1，要求恢复器说明发生了什么。

完整解答 ​

$C_2$ 的原卷积矩阵是全1二阶矩阵，在特征二中仍秩1，支撑为2，乘积等于2。其平方为零，并没有违反乘积界。群代数 ${\mathbb{F}}_2[t]/((t-1{)}^2)$ 的唯一简单表示将 $t$ 送到1，把 $f$ 送到零，所以复数半单块的恢复公式不能迁移到这份简单表示列表。

$V$ 的一组列基是三条右陪集指示函数，矩阵为

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$

它的秩为3，每个非零词最少支撑2。统一保证 $|E|\cdot 3<6$ 覆盖任意一个擦除，因此删去 $e$ 后从 $s$ 读回 $\alpha =1$。

删去 $e,r$ 共两处时，统一数量保证已不能直接应用，但保留行仍含三个不同标准行，故秩仍为3。由 $s=1,r^{2}s=0,r^2=1$ 得 $\alpha =1,\beta =0,\gamma =1$，仍唯一恢复。这证明充分的数量条件不是精确的必要条件。

删去 $e,s$ 时，保留矩阵只有第二、第三种标准行，秩为2。$\beta =0,\gamma =1$ 确定，而 $\alpha$ 可以为0或1，两份词在全部保留位置相同。恢复器应返回一维自由度，而不是任选一个值当成唯一答案。

若两处保留读数 $r=0,r^{2}s=1$，它们同属一个右陪集却不同值，方程 $B_{K}c=y_K$ 不相容。即使擦除数量很少，也只能报告输入不属于模型；唯一性保证从未承诺任意数据都有合法原像。这里位置已知的擦除与位置未知的错误必须分别处理。

公开核验与范围 ​

标准库精确程序及完整结果固定上述群乘法与坐标顺序。普通与优化模式均执行17,263项检查；不依赖Python的assert开关。程序在 $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ 中作精确运算，覆盖所有729份 $\{-1,0,1\}$ 值S3函数、复数与根式输入、点质量乘法方向、原六阶矩阵与块秩、全部相容解的核基和非酉换基的范数变化。

模特征部分从原平移矩阵核对 ${\mathbb{F}}_2[S_3]$、${\mathbb{F}}_3[S_3]$、${\mathbb{F}}_2[D_4]$ 和 ${\mathbb{F}}_5[C_5]$ 的全部函数，并保留真实主元列的支撑覆盖。对S3的全部六个子群，在三个素数域逐一枚举所有64种擦除模式，分别验证精确保留行秩、统一数量保证、自由度与不相容数据拒绝。群阶、域与测试范围都有限；一般定理来自正文证明，而不是由穷举数量外推。

运行时用 python foundations-group-convolution-check.py --output result.json，优化复核改用 python -O。它不是寻找任意群全部不可约表示的工具，不处理浮点近零判断，也未实现通用快速非交换Fourier算法。