闭边界、半开分块和内部，各在数什么 ​

本任务用Pick定理理路Pick 格点面积定理Pick's theorem · Pick定理 · 格点多边形面积公式用内部格点与边界格点精确计算二维整数凸多边形面积；以幺模三角形和Euler计数证明公式，求全部整数伸缩点数，并用孔洞与Reeve四面体检验范围。、Ehrhart伸缩计数理路Ehrhart 伸缩计数定理Ehrhart theorem · Ehrhart polynomial · Ehrhart quasipolynomial · Ehrhart多项式 · Ehrhart准多项式证明有理多胞形的全部非负整数伸缩格点数按剩余类呈多项式，整数顶点时恢复单一多项式；以同高整圆锥和半开基本域给生成函数证书，处理周期折叠、低维切片和负系数。与Ehrhart–Macdonald互反理路Ehrhart–Macdonald 格点互反Ehrhart–Macdonald reciprocity · Ehrhart-Macdonald reciprocity · 格点计数互反定理将闭多胞形的Ehrhart准多项式在负整数处按正确剩余类求值，恢复正伸缩的相对内部格点数；用互补半开基本域及有理生成函数反演证明，区分负伸缩、内部与边界分工。完成一份可复算记录。每个对象都先固定顶点、所用格与参数范围，再给公式。

整张闭图形包含边界；三角剖分的半开规则只为避免重复；相对内部则删除整张图形的边界。三种点集不能互换。以下只把正整数伸缩的内部计数解释成点数，负参数表示对已证准多项式求值。

任务一：把面积六拆成十二份整数证书 ​

输入整数三角形

$$T=\mathrm{conv}\{(0,0),(4,0),(0,3)\}.$$

三条边的整数差分别为 $(4,0),(-4,3),(0,-3)$。输出

$$A=6,B=4+1+3=8,I=3.$$

三个内部点为 $(1,1),(2,1),(1,2)$，闭点数十一。

将所有十一格点插入三角剖分，程序给出十二个小三角形。每个有向边矩阵的行列式都为一，证明面积都是二分之一。其边面证书为

$$V=11,E=22,T_{\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}}=12,E_{\partial }=8,$$$$11-22+12=1,3\cdot 12=2\cdot 22-8.$$

十四条内部边各出现两次，八条边界边各出现一次。不要因为三角剖分画了更多线，就把内部线上的点重新算成原三角形的边界点。

所有非负整数 $t$的闭计数，以及正整数 $t$的内部计数，分别为

$$L_T(t)=6t^2+4t+1,L_T^{\circ }(t)=6t^2-4t+1.$$

验收 $t=2$时闭33、内部17、边界16；$t=10$时闭641、内部561、边界80。差值始终为 $8t$。闭生成函数也可以一并交付：

$$E_T(z)=\frac{1+8z+3z^2}{(1-z{)}^3}.$$

其中 $z^2$系数三与原图形的三个内部格点相合，展开后应恢复上面的每个点数。

换坐标之后仍需能认出同一计数 ​

令

$$U=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),b=(1,-1),T^{\prime }=UT+b.$$

新顶点为 $(1,-1),(5,-1),(7,2)$。因为 $\det U=1$，映射

$$x⟼Ux+tb$$

在 $tT$与 $t{T}^{\prime }$的整数点之间给出双射，内部也对应。原三个内部点在 $t=1$时分别送到 $(4,0),(5,0),(6,1)$；两份点表可逐个比对，而非只比较最终个数。

任务二：用有限分子证明六类公式 ​

现在输入有理三角形

$$P=\{(x,y):x,y\ge 0,2x+3y\le 1\}.$$

顶点为 $(0,0),(1/2,0),(0,1/3)$，面积 $1/12$、分母六。$tP$中的整数点与非负整数解

$$w+2x+3y=t$$

一一对应，$w$是唯一的松弛量。因此

$$E_P(z)=\frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^3)}=\frac{H(z)}{(1-z^6{)}^3},$$$$H(z)=(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5)(1+z^2+z^4)(1+z^3).$$

完整分子系数从零次至十二次为

$$(1,1,2,3,4,5,4,5,4,3,2,1,1).$$

它们的和为36。另一条计算路径将顶点升到统一整数高度六，使用生成元

$$(0,0,6),(3,0,6),(0,2,6).$$

相应半开基本平行多面体恰有36个整数点；按高度分组，必须得到同一份系数表。这不仅是比较前几项计数，而是比较两种方法给出的有限有理函数证书。

写 $t=6k+s$。按照高度的剩余类分组，得到

$s$	$(a_s,a_{s+6},a_{s+12})$	$L_P(6k+s)$
0	$(1,4,1)$	$3k^2+3k+1$
1	$(1,5,0)$	$3k^2+4k+1$
2	$(2,4,0)$	$3k^2+5k+2$
3	$(3,3,0)$	$3k^2+6k+3$
4	$(4,2,0)$	$3k^2+7k+4$
5	$(5,1,0)$	$3k^2+8k+5$

表中每行由

$$a_s(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+2}{2})+a_{s+6}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{2})+a_{s+12}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})$$

展开而来，缺失的分子系数取零。因此它对所有 $k\ge 0$成立，不是插值后未经证明的猜测。前十三项为

$$1,1,2,3,4,5,7,8,10,12,14,16,19.$$

用逐行不等式枚举再核对一次：对每个 $y=0,\dots ,\lfloor t/3\rfloor$，可用的 $x$有 $\lfloor (t-3y)/2\rfloor +1$个。

任务三：内部计数从严格不等式和互反双向认证 ​

对正整数 $t$，内部点满足

$$x,y\ge 1,2x+3y\le t-1.$$

减掉 $(1,1)$后，右端恰变成 $t-6$。所以

$$L_P^{\circ }(t)=\{\begin{array}{ll}0,& 1\le t\le 5,\\ L_P(t-6),& t\ge 6.\end{array}$$

代入前表，内部六类公式为

$s$	$L_P^{\circ }(6k+s)$，仅用于 $6k+s>0$
0	$3k^2-3k+1$
1	$3k^2-2k$
2	$3k^2-k$
3	$3k^2$
4	$3k^2+k$
5	$3k^2+2k$

正整数上的闭、内部两表相减都为 $6k+s=t$，所以该有理三角形的边界计数恰好仍是 $t$。这是本例的结果，不能由分数边向量直接套整数边gcd公式。

互反核验 $t=7$时，需要 $-7=6(-2)+5$，故负参数应取第五行，得到一。几何负伸缩的闭点数仍为八，不能拿八替代内部的一。

再做一次大参数验收：

$$2026=6\cdot 337+4,-2026=6(-338)+2.$$

输出

$$L_P(2026)=343070,L_P^{\circ }(2026)=L_P(-2026)=341044.$$

差为2026，与边界公式吻合。相同值也可由 $L_P(2020)$得到，形成三条计算路径。

任务四：互补基本域到底如何交换点 ​

考虑二维圆锥生成元

$$u_0=(0,2),u_1=(3,2),$$

其高度取第二坐标。闭锥基本域使用 $0\le {\rho }_0,{\rho }_1<1$，六个整数点为

$$(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3).$$

开锥基本域使用 $0<{\rho }_0,{\rho }_1\le 1$，六个点为

$$(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4).$$

反射映射 $p\mapsto (3,4)-p$将第一表逐项送到第二表。高度分子分别为

$$H_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}}(z)=1+2z+2z^2+z^3,H_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}(z)=z+2z^2+2z^3+z^4.$$

验证 $H_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}(z)=z^4{H}_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}}(1/z)$。共同分母是 $(1-z^2{)}^2$，所以二维锥反演的符号为正；对应高度一的线段只有一维，其Ehrhart互反符号反而为负。这一差一维的符号转换必须保留。

该线段为 $[0,3/2]$。直接检查 $t=2$：闭整数点为 $0,1,2,3$共四个，内部为 $1,2$共两个。第一份基本域含原点，第二份不含；没有哪个基本域是“两条边都闭”后再凭直觉减去顶点。

任务五：三个迁移，检查条件是否真的被使用 ​

有理但只有一个普通多项式 ​

取 $Q=\mathrm{conv}\{(0,0),(2,0),(0,1/2)\}$。分别对偶数、奇数 $t$求和

$$\sum _{y=0}^{\lfloor t/2\rfloor }(2t-4y+1),$$

都得到 $L_Q(t)=(t+1)(t+2)/2$。内部公式为 $(t-1)(t-2)/2$，在 $t=1,2$时均为零，$t=3$时为一。

分母是二，最小准周期却是一。存在普通Ehrhart多项式也不推出整数多面体理路整数多面体与整数包Integral polyhedron · Integer hull区分整数点、整数包和整数多面体，说明何时所有线性目标都能由整数解达到，以及无顶点情形为何需要额外小心。性质：$Q$仍有分数顶点 $(0,1/2)$，最大化 $y$的连续最优为 $1/2$，整数最优为零。

一维对象嵌在二维里 ​

取 $S=\{(1/2,y):0\le y\le 1\}$。奇数 $t$时没有任何整数点；偶数正整数 $t$时闭计数 $t+1$、相对内部计数 $t-1$。列出 $t=2$的三个闭点及唯一内部点，核对互反用的是一维负号。

在 $t=0$时，$0S$已变成一个点。它不接受正参数的一维内部公式，这也是为什么互反主式只对 $t>0$声明。

三维的普通系数可以为负 ​

取Reeve四面体 $R_{13}$，其体积为 $13/6$，生成函数为

$$E_{R_{13}}(z)=\frac{1+12z^2}{(1-z{)}^4}.$$

因此

$$L_{R_{13}}(t)=\frac{13}{6}{t}^3+t^2-\frac{1}{6}t+1.$$

验收 $t=1$时闭四个、内部零个；$t=2$时闭22个、内部12个，后者为 $(1,1,j)$，$1\le j\le 12$。一次项为负不妨碍整数参数点数为正。原四面体的 $I=0,B=4$又与 $R_1$相同，故仅用原图形内部与边界两数不能恢复三维体积。

复算与提交物 ​

下载标准库精确程序和完整结果JSON。运行可用 --output写自己的结果文件，所有几何判断使用整数或有理数。

提交物应包括三角剖分的十二个行列式、边的出现次数、两个三角形的闭/内部公式、有限分子全部系数、负参数的实际余数、互补基本域两份点表，以及三个迁移例的条件核验。程序另检查多种整数凸包、有理平移和多边形分割、所有开闭坐标组合、低维切片及一族Reeve四面体。

有限枚举不代替全参数证明。已证明次数与周期之后可以插值，但不能用若干相符样本反过来假定这些前提。基本域枚举是有限过程，其成本仍可能随分母、坐标位长和维数快速增长。

回到从边界格点到伸缩计数路线。