Ehrhart–Macdonald 格点互反

单位线段的闭点数是 $t+1$ ，删去两端后是 $t-1$ 。把闭公式代入 $-t$ 再变号，就得到内部公式。二维整数三角形也有这种现象，但符号变成正号；有理顶点还要求在代入负数时重新选择剩余类。

形式陈述

负参数取的是公式值

设非空有理多胞形 $P\subset\mathbb R^d$ 的仿射维数为 $r$ 。由Ehrhart计数定理，闭格点函数 $L_P(t)$ 在非负整数上为准多项式。若选用周期 $q$ 并写成

L_P(qk+s)=f_s(k),\qquad0\le s<q,

则对任意整数 $n$ ，取唯一的 $s\in\{0,\ldots,q-1\}$ 满足 $n\equiv s\pmod q$ ，定义其准多项式延拓为

L_P(n):=f_s\!\left(\frac{n-s}{q}\right).

这个延拓不依赖所选的可用周期：若两种写法在非负整数上相同，取两周期的公倍数，每条剩余列上的两个多项式在无限多点相同，便处处相同。

$L_P(-t)$ 因此是负整数处的公式值。它通常不等于几何集合 $(-t)P$ 的格点数；后者只是 $tP$ 关于原点的反射，格点数仍为 $L_P(t)$ 。

相对内部与互反主式

$\operatorname{relint}P$ 指在 $P$ 的仿射包中取内部。对整数 $t\ge1$ ，记

L_P^\circ(t)=|\operatorname{relint}(tP)\cap\mathbb Z^d|.

Ehrhart–Macdonald互反为

\boxed{L_P^\circ(t)=(-1)^rL_P(-t) \qquad(t\in\mathbb Z_{>0}).} \tag{1}

符号由仿射维数 $r$ 决定，不由环境维数 $d$ 决定。定理没有把 $t=0$ 列入主式；零伸缩会改变对象维数，不能在这里继续照搬正参数的内部解释。

直觉

每个基本坐标交换一次端点

一个半开基本区间有两种配对： $[0,1)$ 与 $(0,1]$ 。映射 $\rho\mapsto1-\rho$ 恰将它们交换。在多维基本平行多面体中，同时交换所有坐标的端点，就把一份有限格点表反射成另一份。

伸缩计数使用高一维的圆锥。若 $P$ 有维数 $r$ ，圆锥有 $r+1$ 个基本方向；反演每个几何级数因子各产生一个负号，合计 $(-1)^{r+1}$ 。再把有理函数的反演译回负参数系数，还会出现一个负号，最后留下 $(-1)^r$ 。

半开分块与整个图形的内部不同

两个闭三角形共用一条对角线时，为防重复，只需指定哪一块保留对角线。另一块删掉这条边，不表示原图形把它删掉了。计算原图形内部时，共用对角线仍然应该保留；真正要删的是整个图形的外边界。

证明会用同一方向 $w$ 与反方向 $-w$ 分别分配格点。这使每块的开闭选择互补，同时把整个闭圆锥换成整个相对内部，二者恰好对齐。

例子与边界

一维、二维的符号

对 $P=[0,1]$ ， $L_P(t)=t+1$ ，故

-L_P(-t)=t-1=L_P^\circ(t).

对三角形 $(0,0),(4,0),(0,3)$ ，闭公式为 $6t^2+4t+1$ ，所以

L_P(-t)=6t^2-4t+1.

$t=1$ 时内部三点， $t=2$ 时内部十七点。三维Reeve四面体则要再变号；由其闭公式得到

L_{R_m}^\circ(t)=\frac m6t^3-t^2+\frac{12-m}{6}t-1.

$t=1$ 时为零， $t=2$ 时为 $m-1$ ，可与高度为 $1,\ldots,m-1$ 的内部点直接比较。

有理三角形必须重新算余数

取 $P=\{x,y\ge0:2x+3y\le1\}$ ，前页已得到

L_P(6k+s)=3k^2+(s+3)k+c_s, \qquad(c_0,\ldots,c_5)=(1,1,2,3,4,5).

求 $t=7$ 的内部点数时，必须写

-7=6(-2)+5,

因此

L_P(-7)=3\cdot4+8\cdot(-2)+5=1.

唯一内部点为 $(1,1)$ 。若沿用正七的余数一，代入了错误的多项式分支，就会得到错误结果。

这里还可以直接复算内部条件：整数坐标满足 $x,y\ge1$ 、 $2x+3y\le t-1$ 。令 $X=x-1,Y=y-1$ ，便得到

2X+3Y\le t-6,\qquad X,Y\ge0.

故 $t\ge6$ 时 $L_P^\circ(t)=L_P(t-6)$ ， $1\le t\le5$ 时为零。注意这句话中的负右端表示可行集为空；它不是把准多项式 $L_P$ 延拓到负数后再解释成同一个不等式计数。

几何负伸缩 $(-7)P$ 则有八个格点，因为它与 $7P$ 互为反射。八是闭计数，式(1)给的一是内部计数，两个量不矛盾。

低维对象需要相对内部

对 $S=\{(1/2,y):0\le y\le1\}\subset\mathbb R^2$ ，维数为一。偶数正整数 $t$ 时，闭计数为 $t+1$ ，相对内部计数为 $t-1$ ；奇数时两者都为零。式(1)使用负号，与这些结果一致。

若误用环境二维符号，会得到偶数时的 $1-t$ ；若误用二维普通内部，则永远得到空集。零维有理点的相对内部就是自身，互反的符号为正。

零参数和半开集合不能偷换

单位线段有 $L_P(0)=1$ ，但 $-L_P(0)=-1$ ，当然不能作为点数。正参数内部公式 $t-1$ 在零处的值只是多项式延拓； $0P$ 本身是一个点，其相对内部应按零维对象处理。

半开区间 $[0,1)$ 的正伸缩计数是 $t$ ，既不是闭线段的 $t+1$ ，也不是开线段的 $t-1$ 。半开互反配对的是互补边界规则 $[0,t)$ 与 $(0,t]$ ，不能机械地把它换成两端都删去。

推论与应用

单个小锥：反射基本域得到反演式

沿用前页的圆锥 $C$ 及同高整生成元。取一个小锥的 $r+1$ 个线性无关生成元 $u_0,\ldots,u_r$ ，每个高度为 $q$ 。指定集合 $J$ ： $i\in J$ 时坐标严格为正，其余坐标非负。对应基本域 $\Pi_J$ 在这些坐标分别取 $(0,1]$ 与 $[0,1)$ 。

记有限高度生成式

H_J(z)=\sum_{p\in\Pi_J\cap\mathbb Z^{d+1}}z^{h(p)}.

基本域分解给该半开锥的生成函数

F_J(z)=\frac{H_J(z)}{(1-z^q)^{r+1}}.

令 $U=u_0+\cdots+u_r$ 。因为 $U$ 是整向量，映射 $p\mapsto U-p$ 将基本域格点双射到互补基本域 $\Pi_{J^c}$ ，且高度变为 $q(r+1)-h(p)$ 。所以

H_{J^c}(z)=z^{q(r+1)}H_J(1/z),

\boxed{F_J(1/z)=(-1)^{r+1}F_{J^c}(z).} \tag{2}

这是有理函数恒等式。右侧分母在零处为一，可以重新展开为非负幂级数；不能将一个含无限负幂的形式和直接当作零处幂级数。

两个互补半开基本域的六个格点通过p到三四减p反射对应；边界等号和高度分子同步反转

全部小锥：反向扰动恰好删去外边界

前页选 $w\in\operatorname{relint}C$ ，对每个点考察充分小的 $x+\varepsilon w$ ，把闭 $C$ 分成不交半开块。在某小锥中，写 $w=\sum\beta_i u_i$ ，严格坐标集合是 $J=\{i:\beta_i<0\}$ 。

改用 $-w$ 时，严格坐标集合变为 $J^c$ 。这些互补块的不交并恰为 $\operatorname{relint}C$ ：内部点可向 $-w$ 移动足够短而不出锥；边界点则位于某支撑facet上，向 $-w$ 移动会立即违反该facet不等式。因此内部点全被保留，外边界点全部被删去。

在仿射张成空间内作同样判断，低维锥也成立。将式(2)对所有块相加，得到

\boxed{E_P(1/z)=(-1)^{r+1}E_P^\circ(z),} \qquad E_P^\circ(z)=\sum_{t\ge1}L_P^\circ(t)z^t. \tag{3}

内部级数从一开始，因为相对内部圆锥不含顶点原点。

有理函数反演怎样变成负整数代入

还要证明

\boxed{E_P(1/z)=-\sum_{t\ge1}L_P(-t)z^t} \tag{4}

在右侧展开意义下成立。先处理周期为 $q$ 的系数函数 $c$ ：

A_c(z)=\sum_{t\ge0}c(t)z^t =\frac{\sum_{s=0}^{q-1}c(s)z^s}{1-z^q}.

直接反演并整理分母，

A_c(1/z)=-\frac{\sum_{s=0}^{q-1}c(s)z^{q-s}}{1-z^q} =-\sum_{t\ge1}c(-t)z^t.

这个式子把负参数应选的剩余类也一起编码了。

对普通生成函数使用形式算子 $D=z\,d/dz$ ，可将第 $t$ 项系数乘以 $t$ 。反演时链式法则给

(D^jA_c)(1/z)=(-1)^jD^j\bigl(A_c(1/z)\bigr) =-\sum_{t\ge1}c(-t)(-t)^jz^t.

准多项式是有限个 $c_j(t)t^j$ 之和，逐项相加便得式(4)。再与式(3)比较系数，正好得到式(1)，符号为 $(-1)^r$ 。

如何把互反当作计算证书

已知次数和可用周期后，可以从闭计数恢复每条剩余类多项式，再在负参数处按实际余数求值。这省去了单独拟合内部公式，也能检验边界处理是否错误。反过来，若直接枚举内部点与互反值不同，应先检查三件事：使用的是相对内部还是环境内部、负参数是否取对剩余类、输入是否仍是同一个闭有理多胞形。

对于整顶点的二维多边形，闭与内部之差给全部边界点；对于有理顶点，边界计数也可周期变化。到格点计数综合任务同时输出两份列表与生成函数，就能把符号和边界选择都变成可复算证书。

参考资料

Matthias Beck、Sinai Robins，Computing the Continuous Discretely，第二版更新稿，2020-06-19，Ch.4 Theorem4.1，p.90；§§4.2–4.3，Theorems4.3–4.4，pp.92–94：圆锥反演与Ehrhart–Macdonald互反。
Matthias Beck、Raman Sanyal，Combinatorial Reciprocity Theorems，2018-10-04稿，Theorem4.8.1，pp.131–133；Lemma5.3.4、Corollary5.3.5及Theorem5.4.2，pp.166–167、170：互补半开基本域与一般锥分解。本页将非负参数的周期系数反演另外展开，以便准确处理负余数。
Matthias Beck、Frank Sottile，Irrational proofs for three theorems of Stanley，2005，Corollary4，p.3；§2与Lemma5，pp.3–5：用无重叠分解与有限基本域反射证明有理圆锥互反。

形式陈述 ​

负参数取的是公式值 ​

相对内部与互反主式 ​

每个基本坐标交换一次端点 ​

半开分块与整个图形的内部不同 ​

一维、二维的符号 ​

有理三角形必须重新算余数 ​

低维对象需要相对内部 ​

零参数和半开集合不能偷换 ​

单个小锥：反射基本域得到反演式 ​

全部小锥：反向扰动恰好删去外边界 ​

有理函数反演怎样变成负整数代入 ​

如何把互反当作计算证书 ​

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