局部曲线终点：方向、厚度与正规化缺口 ​

本终点在特征零域 $k$ 上工作；公开程序取 $k=\mathbb{Q}$。输入都是明确的多项式商环或参数子环。目标不是凭曲线外观给奇点命名，而是交付能够逐项检查的线性空间、分次环、有限商及模映射。

所需接口为一阶局部空间理路正则局部环Regular local ring比较极大理想的一阶生成元数与 Krull 维数来定义正则性；用抛物线和尖点计算嵌入维数，并说明基域条件。、Kähler微分理路Kähler微分Kähler differentials · Module of differentials · 卡勒微分模用生成关系构造通用微分模，把多项式关系变成Jacobian呈示，并完整计算尖点微分映到正规化后的扭核、零化理想与长度。、切锥理路切锥与关联分次环Tangent cone · Associated graded tangent cone · 方案论切锥逐层保留局部函数的消失阶，证明切锥的全部最低齐次关系呈示，并用五维商环证明原生成元初项可能漏掉关键关系。、整闭包理路整闭包Integral closure · Normalization of a domain给定扩环中所有在基环上整的元素所成的子环，以及由此定义的整闭性质。和导子理想理路有限双有理扩张的导子理想Conductor ideal of a finite birational extension · Conductor ideal · 有限双有理扩张的导理想用同时属于两个环的最大理想定位有限正规化的变化位置，计算尖点与节点的导子、商空间和完整纤维环，并证明有限模条件不可删。。返回学习路线：从一阶方向到曲线正规化缺口。

任务一：相同的二维切空间，哪里开始不同 ​

给定

$$A_C=k[x,y]/(y^2-x^3),A_N=k[x,y]/(y^2-x^2(x+1)),$$

两者均取原点 $\mathfrak{m}=(x,y)$。请分别求双数点空间、完整切锥、同函数域整闭包、导子、$B/A$ 与原点纤维环。有人据“两者的一阶空间都是二维、整闭包都是 $k[t]$”断言两者没有局部区别；应在哪份计算中否定这句话？

一阶信息与最低阶关系 ​

两个定义多项式在原点的Jacobian行都为 $(0,0)$。因此任意 $(a,b)\in k^2$ 都定义双数点

$$x⟼a\epsilon ,y⟼b\epsilon ,{\epsilon }^2=0.$$

这个二维空间对应 $(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2{)}^{\ast }$，不是把两条几何切线各计成一个基向量。两局部环的Krull维数为一，所以均不正则。

主理想的全部最低关系由原多项式最低项生成，得到

$$\mathrm{gr}(A_C{)}_{\mathfrak{m}}=k[X,Y]/(Y^2),\mathrm{gr}(A_N{)}_{\mathfrak{m}}=k[X,Y]/(Y^2-X^2).$$

前者含非零平方零元 $Y$。后者的关系分成 $(Y-X)(Y+X)$，两因子不同，所以它约化且有两条直线分支。两环的第零层维数都是一，第 $r\ge 1$ 层维数都是二，局部商 $A_{\mathfrak{m}}/{\mathfrak{m}}^{r+1}$ 的长度也同为 $2r+1$。这些相同数字仍没有抹掉“幂零”与“两分支”的区别。

正规化与有限缺口 ​

尖点取 $x=t^2,y=t^3$；节点取 $x=t^2-1,y=t(t^2-1)$。两种代入都给环嵌入，核恰为所列方程；对 $y$ 作首一除法，剩余的偶次、奇次部分分别独立即可验证。两种情形的分式域都是 $k(t)$，因为 $t=y/x$。再分别用首一方程 $t^2=x$ 和 $t^2=x+1$，得到有限扩环

$$B=A+At=k[t].$$

$B$ 是整闭整环；任何在 $A$ 上整的分式也在 $B$ 上整，所以已经属于 $B$。这同时给出有限性和完整整闭包，不是只找到了一个整元素。

把 $q=t^2-1$ 用于节点，两个旧环及导子为

项目	尖点 $C$	节点 $N$
旧环在 $B$ 中的像	$k+t^{2}B$	$k+qB$
导子在 $B$ 中	$t^{2}B$	$qB$
导子在 $A$ 中	$(x,y)$	$(x,y)$
$B/A$ 的 $k$-基	$\bar{t}$	$\bar{t}$
$A/\mathfrak{c}$	$k$	$k$
$B/\mathfrak{c}$	$k[t]/(t^2)$	$k[t]/(t^2-1)\cong k\times k$

为什么导子不能更大？尖点若 $a\in A$ 有非零常数项，则 $at$ 的一次项非零，所以 $at\notin A$。节点则用旧环条件 $a(1)=a(-1)$：若共同值为 $c$，$at$ 的两值为 $c,-c$，仍相等当且仅当 $c=0$。因此导子恰为表中理想。

两者 $B/A$ 都是一维模，不是商环。原点的完整纤维恰好都是这里的 $B/\mathfrak{c}$，因为在这两个例子里 $\mathfrak{m}B=\mathfrak{c}$。于是尖点纤维只有一个点但长为二，节点纤维有两个约化点。

更具体地，在基 $(1,t)$ 下，纤维环中“乘 $t$”的矩阵分别为

$$M_C=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),M_N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

前者满足 $M_C^2=0$，后者满足 $M_N^2=I$，且 $(1\pm t)/2$ 是两个正交幂等元。两个矩阵都作用在二维空间上，其乘法结构却不能互换。这已否定题面中的判断；“同样的维数”不是“同样的环”。

任务二：一条消失关系是否已经找全微分核 ​

对尖点仍取 $A=k[t^2,t^3]$、$B=k[t]$。考虑

$$\rho :{\mathrm{\Omega }}_{A/k}⟶{\mathrm{\Omega }}_{B/k}=Bdt,dx⟼2tdt,dy⟼3t^{2}dt.$$

求核、其零化理想、核的 $k$-维数及余核。不能仅指出某个非零候选在映射后消失。

核的生成与全部关系 ​

先由原方程求导：

$${\mathrm{\Omega }}_{A/k}=A^2/A(-3x^2,2y).$$

令 $\tau =3ydx-2xdy$，其像为零。若 $adx+bdy$ 在核中，则

$$2ta+3t^{2}b=0,a=-\frac{3}{2}tb.$$

$tb\in A$ 恰好要求 $b$ 的常数项为零，即 $b\in (x,y)$。写 $b=rx+sy$，相应向量分成

$$(a,b)=r(-\frac{3}{2}y,x)+s(-\frac{3}{2}{x}^2,y).$$

第二项是定义关系的一半，第一项为 $-r\tau /2$。所以核确实由 $\tau$ 生成。

要判断 $c\tau =0$，必须问何时

$$c(3y,-2x)=h(-3x^2,2y)\text{对某个 }h\in A.$$

第二坐标强制 $h=-c/t$，第一坐标随即成立。因此 $c\tau =0$ 当且仅当 $c/t\in A$，也就是 $c$ 不含常数项和 $t^2$ 项。这给

$${\mathrm{Ann}}_A(\tau )=(y,x^2),\ker \rho \cong A/(y,x^2)\cong k[x]/(x^2).$$

核的基为 $\tau ,x\tau$，维数为二。局部化到 $k(t)$ 后，微分映射成为一维空间之间的同构，因此这个核就是全部扭子模。

像模为 $(2tA+3t^{2}A)dt=tBdt$，所以余核由 $dt$ 的类生成，维数为一。这里同时出现了三个不同数字：${\dim }_k(B/A)=1$、${\dim }_k\ker \rho =2$、${\dim }_k\mathrm{coker}\rho =1$。它们由不同的商或映射定义，不能把“正规化缺口”当成足以识别所有数字的同义词。

任务三：原生成元的最低项漏掉了什么 ​

现在输入零维局部代数

$$D=k[x,y]/(x^2+y^3,xy).$$

若只保留原两个生成元的最低项，会猜出 $k[X,Y]/(X^2,XY)$。请给一份有限证书说明这个答案错误，并求真正的关联分次环。

一个额外关系与五维表示 ​

在原理想中，

$$y(x^2+y^3)-x(xy)=y^4.$$

所以 $Y^4$ 也必须进入最低项理想。利用 $x^2=-y^3,xy=0,y^4=0$，所有商类都落在

$$1,x,y,y^2,y^3$$

的线性张成中。要证明这五个类没有额外线性关系，可在五维空间、按这个顺序的基上直接构造乘法矩阵：

$$M_x=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0\end{array}\right),M_y=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

逐项相乘可验 $M_x{M}_y=M_y{M}_x=0$、$M_x^2+M_y^3=0$。因此定义关系被满足，得到 $D$ 的五维表示；首基向量在 $1,M_x,M_y,M_y^2,M_y^3$ 下的像正好是五个基向量，故五个商类线性无关。结合前面的张成，得到 ${\dim }_{k}D=5$。

极大理想 $\mathfrak{m}=(x,y)$ 的幂为

$$\mathfrak{m}=⟨x,y,y^2,y^3{⟩}_k,{\mathfrak{m}}^2=⟨y^2,y^3{⟩}_k,{\mathfrak{m}}^3=⟨y^3{⟩}_k,{\mathfrak{m}}^4=0.$$

常数项非零的元素有有限几何级数逆，因此 $D$ 本身已经是局部环。各分次维数为 $1,2,1,1$，以后为零。

令 $J=(X^2,XY,Y^4)$。它包含于真正的最低项理想，故 $k[X,Y]/J$ 满射到 ${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}D$。左边同样有基 $1,X,Y,Y^2,Y^3$，维数五；右边维数为所有相邻过滤商维数之和，也为五。满射必为同构，故

$${\mathrm{gr}}_{\mathfrak{m}}D=k[X,Y]/(X^2,XY,Y^4).$$

这一步的等维满射证书排除了还遗漏其他最低关系。错误候选保留全部 $Y^n$，既不是五维代数，也给错了局部Krull维数。

任务四：迁移到三四次参数曲线 ​

取

$$A=k[t^3,t^4],x=t^3,y=t^4.$$

现在不再沿用尖点的长度二。求坐标关系、切锥、整闭包、导子及原点纤维；再完整求微分映到 $k[t]dt$ 后的扭核。特别检查“导子商”与“原点纤维”是否还相同。

环与有限商 ​

坐标关系为 $y^3=x^4$。按 $y$ 的次数小于三作首一除法后，余式为 $u_0(x)+y{u}_1(x)+y^2{u}_2(x)$；代入 $t$ 后三部分的指数分别模三余0、1、2，故不会抵消。这证明核恰为所列主理想。

最低项为 $Y^3$，所以切锥是 $k[X,Y]/(Y^3)$。其分次维数为 $1,2,3,3,\dots$。一阶空间仍二维，幂零厚度却不同于任务一。

$t=y/x$ 在函数域中，且满足 $t^3=x$。因此 $B=k[t]=A+At+A{t}^2$ 有限；利用 $k[t]$ 整闭，与前述同一证明得到完整整闭包。

$A$ 中可能出现的参数指数为

$$S=\{0,3,4,6,7,8,\dots \}.$$

理由是6、7、8分别等于3+3、3+4、4+4，此后不断加3得到全部更大整数；正整数中恰缺1、2、5。因此

$$B/A=⟨\bar{t},\overline{t^2},\overline{t^5}{⟩}_k,{\dim }_k(B/A)=3.$$

全部次数至少六的多项式乘任意 $t^j$ 仍在 $A$ 中，所以 $t^{6}B$ 属于导子。若候选 $a\in A$ 含常数、三次或四次项，分别用 $t^5,t^2,t$ 相乘，就使五次项非零，违反导子条件；不同次数的项不会在这次平移中相消。故

$$\mathfrak{c}=t^{6}B=(t^6,t^7,t^8{)}_A=(x^2,xy,y^2)={\mathfrak{m}}^2.$$

由此 $A/\mathfrak{c}$ 的基为 $1,x,y$，$B/\mathfrak{c}=k[t]/(t^6)$，相应维数为三和六，满足 $6=3+3$。

原点纤维却是

$$B/\mathfrak{m}B=k[t]/(t^3,t^4)=k[t]/(t^3),$$

其维数为三。任务一恰有 $\mathfrak{m}B=\mathfrak{c}$，本题只有 $\mathfrak{c}=t^{6}B⊊t^{3}B=\mathfrak{m}B$。因此不能把导子商机械当成每一个正规化纤维。

微分核和六个独立扭方向 ​

由方程求导，

$${\mathrm{\Omega }}_{A/k}=A^2/A(-4x^3,3y^2),\rho (dx)=3t^{2}dt,\rho (dy)=4t^{3}dt.$$

令 $\tau =4ydx-3xdy$。若 $(a,b)$ 落入核，则 $a=-(4/3)tb$，故 $b\in A$ 且 $tb\in A$。由指数集合 $S$，这些 $b$ 的指数恰为3或至少6；它们组成理想 $(x,y^2)$。写 $b=rx+s{y}^2$ 后，

$$(a,b)=r(-\frac{4}{3}y,x)+s(-\frac{4}{3}{x}^3,y^2).$$

第二项是定义关系的三分之一，第一项为 $-r\tau /3$，所以全部核仍由 $\tau$ 生成。

$c\tau$ 属于定义关系子模，当且仅当对应系数为 $h=-c/t^5\in A$。指数检验给

$${\mathrm{Ann}}_A(\tau )=(y^2,x^3),\ker \rho \cong A/(y^2,x^3).$$

这个商的六个基元素是

$$1,x,x^2,y,xy,x^{2}y.$$

所以微分扭核维数为六，而 $B/A$ 的维数和原点纤维维数都是三。像模中的 $dt$ 系数次数为2、3及所有至少5的整数，故余核基为 $dt,tdt,t^{4}dt$，维数为三。

这些维数来自各自的明确基，不靠外推前一例中的数值比例。若改变特征，使2、3或4不可逆，前面的微分消元必须重新执行；例如特征2下 $d(y^2-x^3)=-x^{2}dx$，原有分母和生成核证明不能原样使用。

边界与复算交付 ​

把任务一的尖点直接换成双线 $k[x,y]/(y^2)$，其原点切锥仍为 $k[X,Y]/(Y^2)$，却不再是整环。此时不能在本单元的“同一分式域中有限整扩张”合同下照搬正规化计算；先除掉幂零元得到 $k[x]$ 是另一个操作，并且主动丢弃了原结构。

公开标准库复算程序及精确结果检查乘法矩阵、过滤、数值半群、导子、纤维与微分模的有限证书。程序检查的是给定代数关系的精确计算；一般泛性质、有限模支撑和整闭包完整性由正文证明。

最终输出应保留环的乘法和模的标量作用，而不只报维数：两个二维纤维、两个一维正规化缺口和两个二维切空间，都已经展示了相同数字怎样承载不同结构。